問題
3つの角，， が
をみたすとき，の値をすべて求めよ．
出典：東北大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
各角は と の間にあるので、いずれの余弦も0ではない。したがって、与式を正接の加法定理の分子として扱える。分母が0の場合を避けて議論するより、 を で表すと、条件から直接0になる。最後は の範囲が より大きく より小さいことを使い、 の整数倍のうち可能なものだけを残す。
解答
はすべて0でない。そこで を加法定理で展開する。まず
である。右辺から をくくると
となる。
与えられた条件より、波括弧内は0である。したがって である。よって を満たす整数 が存在する。
一方、各角の範囲から である。したがって、この範囲に入る の整数倍は だけである。
また、これらはいずれも実際に起こる。例えば
はいずれも条件を満たし、和は順に である。よって求める値は である。
別解。正接の加法定理を用いると、分母が0でない場合には
である。分子が0なので、分母が0でなければ である。分母が0の場合はこの式で割れないが、上で示した の展開を使えば同じ結論になる。したがって、分母の扱いを落とさないことが本問の注意点である。