東北大学 1999年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

$x y$ 平面で $x$ 座標， $y$ 座標が共に0以上の整数となる点を非負格子点という．非負格子点 $P (x, y)$ にその番号 $N (P)$ を $N (P) = 2^{x} (2 y + 1)$ で付ける．

(1) 番号が2000番になる非負格子点の座標を求めよ．

(2) 連続する整数 $n$ ， $n + 1$ ， $n + 2$ を番号にもつ非負格子点をそれぞれ $A$ ， $B$ ， $C$ とする．2以上の整数 $a$ により $n = 2^{a} (2^{a} + 1)$ となっているとき， $△ A B C$ の面積を $a$ で表せ．

出典：東北大学 1999年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

番号 $N (P) = 2^{x} (2 y + 1)$ は、正整数を「2で割れる回数」と「奇数部分」に分けた表示である。(1)は2000を2のべきと奇数に分解する。(2)では $n, n + 1, n + 2$ それぞれについて2進分解を行い、対応する3点 $A, B, C$ の座標を求める。最後は座標平面の三角形の面積公式を使う。特に $n + 2$ の奇数部分を確認するため、 $a ≧ 2$ の条件を用いる。

解答

(1)

$2000 = 2^{4} \cdot 125 = 2^{4} (2 \cdot 62 + 1)$ である。番号 $N (P) = 2^{x} (2 y + 1)$ では、2の指数が $x$ 、残った奇数部分が $2 y + 1$ であるから $x = 4, y = 62$ である。したがって求める非負格子点は $(4, 62)$ である。

(2)

$n = 2^{a} (2^{a} + 1)$ である。 $2^{a} + 1$ は奇数なので、 $n$ を番号にもつ点 $A$ は $A = (a, \frac{2 ^{a} + 1 - 1}{2}) = (a, 2^{a - 1})$ である。

次に $n + 1 = 2^{2 a} + 2^{a} + 1$ であり、これは奇数である。したがって $n + 1 = 2^{0} (2 y + 1)$ と見れば $2 y + 1 = 2^{2 a} + 2^{a} + 1$ より $B = (0, \frac{2 ^{2 a} + 2 ^{a}}{2}) = (0, 2^{a - 1} (2^{a} + 1))$ である。

さらに

n + 2 = 2^{a} (2^{a} + 1) + 2 = 2^{2 a} + 2^{a} + 2 = 2 (2^{2 a - 1} + 2^{a - 1} + 1) .

ここで $a ≧ 2$ だから、 $2^{2 a - 1}$ と $2^{a - 1}$ はともに偶数であり、 $2^{2 a - 1} + 2^{a - 1} + 1$ は奇数である。よって $n + 2$ を番号にもつ点 $C$ は

C = (1, \frac{2 ^{2 a - 1} + 2 ^{a - 1} + 1 - 1}{2}) = (1, 2^{a - 2} (2^{a} + 1))

である。

座標の面積公式を用いる。 $A = (a, 2^{a - 1})$ として、

A B = (- a, 2^{a - 1} (2^{a} + 1) - 2^{a - 1}) = (- a, 2^{2 a - 1}),

A C = (1 - a, 2^{a - 2} (2^{a} + 1) - 2^{a - 1}) = (1 - a, 2^{a - 2} (2^{a} - 1)) .

したがって

2 [A B C] = (- a) 2^{a - 2} (2^{a} - 1) - 2^{2 a - 1} (1 - a) = 2^{a - 2} - a (2^{a} - 1) - 2^{a + 1} (1 - a) = 2^{a - 2} {a (2^{a} + 1) - 2^{a + 1}} .

$a ≧ 2$ では波括弧内は正であるから、求める面積は $[A B C] = 2^{a - 3} {a (2^{a} + 1) - 2^{a + 1}}$ である。

東北大学 1999年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1999年度
文系数学前期第3問