問題
を正の定数とする．
をみたす関数がただ1つしか存在しないように定数の値を定めよ．また，そのときのを求めよ．
出典：東北大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
積分部分は に依存しない定数なので、まず とおく。すると関数は必ず の形になり、未知関数の問題は定数 の2次方程式に帰着する。関数がただ1つ存在するためには、この2次方程式が実数解をちょうど1つもつ必要があるので、判別式を0にする。最後に を使って候補を選び、対応する と を求める。
解答
とおく。この は によらない定数である。与式は を意味するので、条件を満たす関数があるならば必ずこの形である。
この形を の定義に代入すると
したがって は を満たす。
逆に、この2次方程式の実数解 が1つ決まれば、 は与式を満たす。よって、関数 がただ1つしか存在しないことは、この2次方程式が実数解をちょうど1つもつことと同値である。したがって判別式が0であればよい。 より すなわち である。これを解くと であり、 だから である。
このとき は重解であり、 である。したがって求める関数は である。