東北大学 1996年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$f (x)$ を連続な関数とする．すべての $x$ に対して

f (x) = sin x + \frac{1}{π} \int_{0}^{π} f (t) cos (x - t) d t

が成り立つとき， $f (x)$ を求めよ．

出典：東北大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

積分核 $cos (x - t)$ を加法定理で $cos x cos t + sin x sin t$ に分ける。すると積分部分は $cos x$ と $sin x$ の係数だけをもつ形になるので、未知定数 $A, B$ を定義して $f (x) = A cos x + (1 + B) sin x$ と表す。最後にこの形を $A, B$ の定義へ代入し、自己一致する値を求める。

解答

A = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} f (t) cos t d t, B = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} f (t) sin t d t

とおく。加法定理より $cos (x - t) = cos x cos t + sin x sin t$ であるから、与えられた式は $f (x) = sin x + A cos x + B sin x$ すなわち $f (x) = A cos x + (1 + B) sin x$ と書ける。

この式を $A, B$ の定義に代入する。まず

A = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} {A cos t + (1 + B) sin t} cos t d t = \frac{1}{π} (A \int_{0}^{π} cos^{2} t d t + (1 + B) \int_{0}^{π} sin t cos t d t) .

ここで $\int_{0}^{π} cos^{2} t d t = \frac{π}{2}, \int_{0}^{π} sin t cos t d t = 0$ だから $A = \frac{A}{2}$ である。よって $A = 0$ である。

同様に

B = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} {A cos t + (1 + B) sin t} sin t d t = \frac{1}{π} (A \int_{0}^{π} sin t cos t d t + (1 + B) \int_{0}^{π} sin^{2} t d t) = \frac{1 + B}{2}

である。したがって $B = 1$ となる。

以上より $f (x) = 2 sin x$ である。実際、この $f (x)$ を元の式に代入すると条件を満たすので、求める関数は $f (x) = 2 sin x$ である。

東北大学 1996年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

東北大学 1996年度
後期・理系数学後期第5問