問題
点，，，を頂点とする四面体と平面がある．はと交わり，その切り口は四角形であるとする．
(1) の範囲を求めよ．
(2) 切り口の四角形の面積をで表せ．
(3) をにより2つの部分に切断し，頂点を含む部分をとする．3つの座標平面に接し，に含まれる球の半径の最大値を求めよ．
出典：東北大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
四面体 は 、 で表せる。平面 の左辺値を4頂点で比べ、四角形になる範囲を決める。切り口の4頂点は辺 との交点として求め、面積は3次元のベクトルで2つの三角形に分けて計算する。球は3座標平面に接するので中心を とし、面 と切断面 までの距離条件から最大半径を決める。
解答
(1)
平面 の左辺 の値を四面体の頂点で調べると、 である。平面 は である。切り口が四角形になるのは、頂点 と頂点 が平面の反対側に分かれるときであるから である。よって である。
(2)
切り口の4頂点は、辺 と平面 の交点である。順に求めると である。また、辺 上の点を とおくと、 より だから である。したがって を得る。同様に、辺 との交点は である。
四角形を の順に見る。面積ベクトルを用いると、面積は で求められる。計算すると
である。 だから、切り口の面積は である。
(3)
3つの座標平面に接する球の半径を とすると、中心は である。 は四面体 のうち を含む側なので、次の2つの平面までの距離が少なくとも でなければならない。
まず、四面体の面 は である。中心 からこの平面までの距離は だから、 が必要である。よって である。
次に、切断面 までの距離は である。これも 以上である必要があるので すなわち である。
したがって最大半径は である。すなわち、必要ならば
と書ける。