問題
頂点から底面に下ろした垂線の足が底面の円の中心に一致する円すいを直円すいと呼ぶ．側面積がである直円すいのなかで体積が最大となるものを考える．このとき，底面の半径および高さを求めよ．
出典：東北大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
底面半径を 、母線を 、高さを とおく。側面積 から とし、 で体積を だけの関数にする。平方根を避けるため を最大化し、 と置いて3次式 の最大を調べる。
解答
底面の半径を 、母線を 、高さを とする。直円すいの側面積は であるから、条件より すなわち である。
また、母線、半径、高さは直角三角形を作るので である。したがって であり、 より である。
体積は である。 なので、 を最大にすることは を最大にすることと同じである。定数 を除いて を最大化すればよい。 とおくと、 で を最大にする問題になる。 であるから、最大は のときに生じる。よって である。また だから である。