問題
1次変換による，円の像が，円 に一致するとき，を表す行列およびの値を求めよ．
出典：東北大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第4問
方針
円 は中心 、半径1の円であり、1次変換後の中心は になる。像が半径2の円になるためには、単位円の像が原点中心の半径2の円でなければならないので、行列の2つの列ベクトルは長さ2で互いに垂直である。中心の像から第1列と を決め、垂直な第2列の2通りを残す。
解答
行列 の第1列、第2列をそれぞれ とする。円 は と表せる。したがってその像は である。
像が円 に一致するので、中心は であり、半径は である。まず中心について である。
また、単位円 の像 が原点中心の半径2の円になるためには、 と が互いに垂直で、どちらも長さ でなければならない。よって である。、 より となる。
第2列 は に垂直で、長さが であるから である。したがって
であり、いずれの場合も である。