東北大学 1996年度
後期・文系数学 後期 第3問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 数列
- 解法
- 漸化式の変形、特性方程式、計算整理
- 難易度
- 5 / 10 計算量 4 / 10 目安 8分
問題
数列{an}，{bn}が漸化式
an+1=an−4bn+1,bn+1=2an−5bn−1(n=1,2,3,⋯⋯)
で定義されている．ただし，a1=1，b1=0とする．
(1) an−bnを求めよ．
(2) an，bnを求めよ．
出典：東北大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第3問
方針
2つの漸化式を引き算すると an−bn だけの漸化式が得られる。初期値がその固定値と一致しているため、an−bn=1 が全ての n で成り立つ。これを bn=an−1 として第1式に代入し、an の1次漸化式を解けば bn も直ちに求まる。
解答
(1)
2つの漸化式を引くと
an+1−bn+1=(an−4bn+1)−(2an−5bn−1)=−(an−bn)+2
である。ここで a1−b1=1−0=1 である。もし an−bn=1 なら an+1−bn+1=−1+2=1 となるので、数学的帰納法により an−bn=1 がすべての正の整数 n で成り立つ。
(2)
(1)より bn=an−1 である。これを第1式 an+1=an−4bn+1 に代入すると an+1=an−4(an−1)+1=−3an+5 を得る。
この漸化式の一定値を L とすると L=−3L+5 より L=5/4 である。したがって an+1−45=−3(an−45) となる。a1=1 だから a1−45=−41 であり、an−45=−41(−3)n−1 である。よって an=45−41(−3)n−1 である。また bn=an−1=41−41(−3)n−1 である。
