問題
2つの曲線とは座標が負の点を共有し，かつ，その点において共通の接線をもつとする．
(1) を求めよ．
(2) の方程式を求めよ．
(3) 2つの曲線で囲まれた図形の面積を求めよ．
出典：東北大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第1問
方針
共有点の 座標を とし、同じ点を通る条件と接線の傾きが等しい条件を連立する。負の共有点を選ぶことで が決まり、そこから と共通接線を求める。面積は2曲線の差を因数分解し、接点が重なりなので をもつことを利用して積分する。
解答
(1)
共有点の 座標を とする。2つの曲線がその点を共有し、さらに共通の接線をもつので、関数値と導関数値がそれぞれ等しい。したがって かつ である。傾きの条件を整理すると すなわち である。これを解くと である。共有点の 座標は負であるから である。
このとき第1の曲線での 座標は である。一方、第2の曲線では であるから、 である。
(2)
接点は である。傾きは だから、共通接線 は すなわち である。
(3)
のとき、2曲線の差は
接点 では重なっており、もう一つの交点は である。 では 、 だから、上側は第2の曲線である。したがって面積 は である。 とおくと、、 なので
よって求める面積は である。
別解。2曲線の差は、共通接線をもつ共有点で重解をもつ。負の共有点が と分かった後は、差の多項式が を因数にもつと考えると、残りの交点 がすぐに出る。面積計算は上と同じである。