東北大学 1996年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

行列 $A = (2 y x z)$ ， $B = (1201)$ ， $C = (0111)$ に対して，等式 $A^{2} B = B A^{2}$ ， $A C = C A$ が成り立つとき， $x$ ， $y$ ， $z$ の値を求めよ．

出典：東北大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

方針

まず $A C = C A$ を成分比較して、 $y = x$ 、 $z = x + 2$ に絞る。その後、 $A^{2}$ を計算して $A^{2} B = B A^{2}$ を成分比較する。一般の2次正方行列 $M$ について $M B = B M$ となる条件を先に見ると、 $A^{2}$ の右上成分が0、対角成分が等しいことに帰着できる。

解答

まず $A C$ と $C A$ を計算する。

A C = (x z 2 + x y + z), C A = (y 2 + y z x + z)

である。したがって $A C = C A$ より $x = y, z = x + 2$ を得る。

よって

A = (2 x x x + 2)

としてよい。このとき

A^{2} = (4 + x^{2} x^{2} + 4 x x^{2} + 4 x 2 x^{2} + 4 x + 4)

である。

ここで一般に

M = (u w v q)

とおくと、

M B = (u + 2 v w + 2 q v q), B M = (u 2 u + w v 2 v + q)

である。したがって $M B = B M$ となるには $v = 0, q = u$ が必要十分である。

これを $M = A^{2}$ に適用すると $x^{2} + 4 x = 0$ である。すなわち $x (x + 4) = 0$ だから、 $x = 0 または x = - 4$ である。 $y = x$ 、 $z = x + 2$ より、求める値は $(x, y, z) = (0, 0, 2), (x, y, z) = (- 4, - 4, - 2)$ である。

東北大学 1996年度後期・文系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

東北大学 1996年度
後期・文系数学後期第2問