東北大学 1996年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

3次関数 $f (x) = x^{3} - 6 a x^{2} + b x + 1$ は $x = a$ において極大値をとるという．ただし， $a$ は正の実数で $b$ は実数とする．

(1) $b$ および極大値 $f (a)$ を $a$ を用いて表せ．

(2) 曲線 $y = f (x)$ および直線 $y = f (a)$ によって囲まれた部分の面積が $a^{2}$ に等しいとき， $a$ の値を求めよ．

出典：東北大学 1996年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

方針

極大条件から $f^{'} (a) = 0$ を使って $b$ を決め、 $f^{''} (a) < 0$ も確認する。水平線 $y = f (a)$ との差は $x = a$ を重解にもつため、 $(x - a)^{2} (x - 4 a)$ と因数分解できる。囲まれた領域では $f (x) ≦ f (a)$ となるので、面積は $f (a) - f (x)$ を $a$ から $4 a$ まで積分して求める。

解答

(1)

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 a x + b$ である。 $x = a$ において極大値をとるので、まず $f^{'} (a) = 0$ でなければならない。したがって $3 a^{2} - 12 a^{2} + b = 0$ より $b = 9 a^{2}$ である。また $f^{''} (x) = 6 x - 12 a$ だから、 $f^{''} (a) = - 6 a < 0$ であり、実際に $x = a$ で極大となる。

このとき $f (a) = a^{3} - 6 a \cdot a^{2} + 9 a^{2} \cdot a + 1 = 4 a^{3} + 1$ である。

(2)

$b = 9 a^{2}$ とすると

f (x) - f (a) = x^{3} - 6 a x^{2} + 9 a^{2} x - 4 a^{3} = (x - a)^{2} (x - 4 a)

である。したがって曲線 $y = f (x)$ と直線 $y = f (a)$ は $x = a$ で接し、もう一度 $x = 4 a$ で交わる。 $a > 0$ であり、 $a ≦ x ≦ 4 a$ では $(x - a)^{2} ≧ 0, x - 4 a ≦ 0$ なので $f (x) - f (a) ≦ 0$ である。よって囲まれた部分の面積 $S$ は $S = \int_{a}^{4 a} {f (a) - f (x)} d x = \int_{a}^{4 a} (x - a)^{2} (4 a - x) d x$ である。 $u = x - a$ とおくと、 $0 ≦ u ≦ 3 a$ 、 $4 a - x = 3 a - u$ となる。したがって

S = \int_{0}^{3 a} u^{2} (3 a - u) d u = [a u^{3} - \frac{u ^{4}}{4}]_{0}^{3 a} = 27 a^{4} - \frac{81}{4} a^{4} = \frac{27}{4} a^{4} .

これが $a^{2}$ に等しいので、 $a > 0$ より $\frac{27}{4} a^{2} = 1.$ よって $a = \frac{2}{3 3} = \frac{2 3}{9}$ である。

東北大学 1996年度文系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1996年度
文系数学前期第4問