問題
直線はだ円と相異なる2点で交わり，これらの交点の座標はともに正であるという．このようなの範囲を平面上に図示せよ．
出典：東北大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
直線を楕円に代入し、まず交点が相異なる2点になるための判別式条件を出す。次に2つの交点の 座標を とし、両方が正である条件を 、 に直す。最後に判別式条件と合わせて、 平面では と に挟まれる領域として図示する。
解答
直線 を楕円 に代入すると である。整理して を得る。交点が相異なる2点であるためには、この2次方程式が相異なる2つの実数解をもてばよい。判別式を とすると
であるから、 が必要十分である。
次に、2つの交点の 座標を とする。対応する 座標を とすれば、 である。解と係数の関係より であるから、
2つの 座標がともに正であるためには が必要十分である。分母は正なので、これは と同値である。
以上を合わせると、求める範囲は である。 と から であるから、 平面では で表される開いた領域である。境界 および は含まれない。
別解。 の場合も含めて、交点の 座標だけを直接調べてもよい。楕円上では であり、直線条件と合わせる方法もあるが、最終的には「2点で交わる条件」と「2つの 座標の和・積が正」という同じ2条件に帰着する。特に は2点がともに上半平面にある条件、 は直線が楕円を2点で切る条件に対応している。