問題
球面と点が与えられている．点を通り球面に接するすべての直線からなる図形ととの共通部分として定まる円をとする．円の中心の座標および半径を求めよ．また，円を含む平面の方程式を求めよ．
出典：東北大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
球の中心を とし、外部点 からの接点を とおく。接線は半径 と直交するので、 を用いて接点全体の平面を出す。円 はその平面で球を切った円であり、中心は からその平面へ下ろした垂線の足、半径は球の半径と中心から平面までの距離から求める。
解答
球の中心を とする。点 について である。
接点を とする。球面上の接線は接点における半径と垂直であるから、直線 が球に接する条件は である。ここで は球面上にあるので である。したがって となる。よって接点全体が含まれる平面 は である。整理すると である。
円 の中心 は、球の中心 から平面 に下ろした垂線の足である。平面条件は であり、 だから、 から 方向に だけ進めばよい。したがって
また、 から平面 までの距離は である。球の半径は なので、切り口の円の半径 は である。
別解。三角形 は で直角で、、 である。したがって から接点平面までの距離は、直角三角形で斜辺 上に落とした射影の長さとして になる。これにより中心 と半径 は上と同じく求められる。