東北大学 1996年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

$p_{1} = (1, 0)$ とする．ベクトル $p_{n}$ に対し，これを正の向きに角 $θ$ だけ回転し，さらにその大きさを $α$ 倍したベクトルを $p_{n + 1}$ とする．ただし， $0 < α < 1$ ， $n = 1, 2, 3, \dots\dots$ とする．

(1) $p_{n}$ と同じ向きをもつ単位ベクトル $e_{n}$ を求めよ．

(2) $θ = \frac{2}{3} π$ のとき， $n = 1 \sum 99 p_{n}$ を求めよ．

出典：東北大学 1996年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

各ステップで大きさは $α$ 倍、向きは $θ$ ずつ増えるので、 $p_{n}$ の大きさと偏角をそのまま追う。(2)では $θ = 2 π /3$ により向きが3項周期になるため、 $n = 3 j + 1, 3 j + 2, 3 j + 3$ の3項を1組にして、残りは公比 $α^{3}$ の等比数列として和を取る。

解答

(1)

$p_{1} = (1, 0)$ であり、 $p_{n + 1}$ は $p_{n}$ を正の向きに $θ$ だけ回転し、大きさを $α$ 倍したものである。したがって $p_{n}$ の大きさは $α^{n - 1}$ であり、正の $x$ 軸から測った向きは $(n - 1) θ$ である。よって同じ向きをもつ単位ベクトルは $e_{n} = (cos (n - 1) θ, sin (n - 1) θ)$ である。

(2)

$θ = 2 π /3$ のとき、向きは3項ごとに戻る。具体的に

p_{3 j + 1} p_{3 j + 2} p_{3 j + 3} = α^{3 j} (1, 0), = α^{3 j + 1} (- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}), = α^{3 j + 2} (- \frac{1}{2}, - \frac{3}{2})

である。したがって3項を1組にすると

p_{3 j + 1} + p_{3 j + 2} + p_{3 j + 3} = α^{3 j} (1 - \frac{α}{2} - \frac{α ^{2}}{2}, \frac{3}{2} (α - α^{2})) .

$99 = 3 \cdot 33$ であるから、 $j = 0, 1, \dots, 32$ について和を取ればよい。よって

n = 1 \sum 99 p_{n} = (1 - \frac{α}{2} - \frac{α ^{2}}{2}, \frac{3}{2} (α - α^{2})) \frac{1 - α ^{99}}{1 - α ^{3}} .

ここで

1 - \frac{α}{2} - \frac{α ^{2}}{2} = (1 - α) (1 + \frac{α}{2}), \frac{3}{2} (α - α^{2}) = (1 - α) \frac{3 α}{2}

であり、 $1 - α^{3} = (1 - α) (1 + α + α^{2})$ である。 $0 < α < 1$ なので $1 - α \neq = 0$ であり、

n = 1 \sum 99 p_{n} = \frac{1 - α ^{99}}{1 + α + α ^{2}} (1 + \frac{α}{2}, \frac{3 α}{2})

である。

東北大学 1996年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1996年度
文系数学前期第2問