問題
関数，を
で定める．ただし，はすべての実数を動くものとする．
(1) のグラフをかけ．
(2) のグラフをかけ．
(3) 曲線の接線で傾きがであるものをすべて求めよ．
出典：東北大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第4問
方針
の符号で絶対値を外し， の内側だけ放物線になることを確認する。 は の積分なので区間ごとに式を求め，外側では定数になる。(3) は を用いて傾き となる を求め，接点の座標から接線の式を出す。
解答
(1) である。したがって である。よって は
となる。内側では だから， を頂点とする上に凸の放物線であり，， を通る。外側では 軸上のグラフである。
(2) である。 では積分区間で なので である。 では
であり， となる。 では が続くので， は に等しい。したがって より
である。このグラフは で 軸上， で増加し， で水平になる。
(3) では である。外側では なので，傾き の接線は にある。条件は であり，両辺に2を掛けて整理すると である。よって である。
接点の 座標を求めると
である。したがって接線はそれぞれ
である。整理して を得る。