東北大学 1995年度後期・文系数学後期第1問解答・解説

問題

行列 $A = (3214)$ およびベクトル $a = (12)$ ， $p = (1 t)$ について，次の問に答えよ．ただし， $t > 0$ とする．

(1) $A p = (x s x)$ とするとき，不等式 $∣ s - 2∣ ≦ \frac{2}{3} ∣ t - 2∣$ を示せ．

(2) $\frac{∣ A p ∣}{∣ p ∣} ≦ \frac{∣ A a ∣}{∣ a ∣}$ となる $t$ の範囲を求めよ．

出典：東北大学 1995年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第1問

方針

(1) は $A p$ の成分から $s$ を直接表し， $t > 0$ により分母 $t + 3$ が3以上であることを使う。(2) は長さの比を2乗しても同値であることを確認し， $∣ A a ∣/∣ a ∣ = 5$ と比較して $t$ の2次不等式へ落とす。

解答

(1)

A p = (3214) (1 t) = (3 + t 2 + 4 t)

である。問題の表し方 $A p = (x s x)$ と比べると， $t > 0$ より $x = 3 + t > 0$ であり， $s = \frac{2 + 4 t}{3 + t}$ である。したがって $s - 2 = \frac{2 + 4 t - 2 ( 3 + t )}{3 + t} = \frac{2 t - 4}{3 + t} = \frac{2 ( t - 2 )}{3 + t}$ となる。よって $∣ s - 2∣ = \frac{2∣ t - 2∣}{3 + t}$ である。 $t > 0$ なので $3 + t > 3$ であり， $\frac{2}{3 + t} ≦ \frac{2}{3}$ だから $∣ s - 2∣ ≦ \frac{2}{3} ∣ t - 2∣$ が成り立つ。

(2) まず

A a = (3214) (12) = (510) = 5 (12) = 5 a

である。したがって $\frac{∣ A a ∣}{∣ a ∣} = 5$ である。求める条件は $\frac{∣ A p ∣}{∣ p ∣} ≦ 5$ であり，両辺は正なので2乗してよい。すなわち $\frac{( 3 + t ) ^{2} + ( 2 + 4 t ) ^{2}}{1 + t ^{2}} ≦ 25$ である。分母 $1 + t^{2}$ は正だから，両辺に掛けて整理する。 $(3 + t)^{2} + (2 + 4 t)^{2} ≦ 25 (1 + t^{2})$ $t^{2} + 6 t + 9 + 16 t^{2} + 16 t + 4 ≦ 25 + 25 t^{2}$ $0 ≦ 8 t^{2} - 22 t + 12 = 2 (4 t - 3) (t - 2)$ である。したがって $(4 t - 3) (t - 2) ≧ 0$ となる。 $t > 0$ と合わせると $0 < t ≦ \frac{3}{4}, 2 ≦ t$ である。

東北大学 1995年度後期・文系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

東北大学 1995年度
後期・文系数学後期第1問