東北大学 1995年度
後期・文系数学 後期 第3問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 数列、三角関数
- 解法
- 漸化式の変形、存在証明、三角比の利用
- 難易度
- 6 / 10 計算量 5 / 10 目安 20分
問題
0≦c≦1とする．数列{an}が帰納的に
a1=1,a2=1−2c,an=an−1−4can−2(n≧3)
で定義されている．このとき
an=sin2nθ+cos2nθ(n=1,2,⋯⋯)
を満たすθ (0≦θ≦4π)が存在することを示せ．
出典：東北大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第3問
方針
まず 0≦c≦1 から sin2θ=c を満たす 0≦θ≦π/4 が存在することを示す。X=sin2θ，Y=cos2θ とおけば X+Y=1，XY=c/4 となる。あとは sn=Xn+Yn が与えられた数列と同じ初期値・同じ漸化式を満たすことを帰納的に確認する。
解答
0≦c≦1 であるから，0≦c≦1 である。関数 sin2θ は 0≦θ≦π/4 で0から1まで連続的に増加するので，sin2θ=c を満たす θ が 0≦θ≦π/4 に存在する。
この θ に対して X=sin2θ,Y=cos2θ とおく。すると X+Y=1 であり，また XY=sin2θcos2θ=41sin22θ=4c である。
ここで sn=Xn+Yn とおく。まず s1=X+Y=1 であり，s2=X2+Y2=(X+Y)2−2XY=1−2c である。これは与えられた数列の a1,a2 と一致する。
次に n≧3 について，X,Y は2次方程式 t2−(X+Y)t+XY=0 すなわち t2−t+4c=0 の解である。したがって X2=X−4c,Y2=Y−4c である。両式にそれぞれ Xn−2，Yn−2 を掛けて足すと Xn+Yn=(Xn−1+Yn−1)−4c(Xn−2+Yn−2) となる。つまり sn=sn−1−4csn−2 である。
よって sn は an と同じ初期条件と同じ漸化式を満たす。したがってすべての n≧1 で an=sn=Xn+Yn=sin2nθ+cos2nθ である。すなわち an=sin2nθ+cos2nθ(n=1,2,…) を満たす 0≦θ≦π/4 が存在する。
別解。X,Y を先に代数的に作ることもできる。X+Y=1，XY=c/4 を満たす X,Y は X,Y=21∓1−c であり，0≦c≦1 から 0≦X≦Y≦1 である。そこで X=sin2θ，Y=cos2θ となる 0≦θ≦π/4 を取れば，同じ証明になる。
