問題
空間に4点
がある．
(1) 三角形の面積を求めよ．
(2) 3点，，を通る平面の方程式を求めよ．
(3) 四面体の体積を求めよ．
出典：東北大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第2問
方針
と から両方に垂直なベクトルを作り，その長さで三角形の面積を求める。同じ垂直ベクトルを法線として平面の方程式を立てる。(3) は底面 と点 の距離，または3本のベクトルで作る体積を用いて求める。
解答
(1)
である。これらの両方に垂直なベクトルを計算すると を取ることができる。実際，
である。したがって三角形 の面積は
である。
(2) 法線ベクトルは を簡単にして と取れる。平面の方程式を とおく。点 を通るので より である。したがって求める平面は である。点 を代入しても，それぞれ ， となり確かに通る。
(3) から平面 までの距離を求める。平面の式から
である。よって四面体の体積は
である。
別解。(3) は3本のベクトルで直接計算してもよい。 であり，(1) で求めた両方に垂直なベクトル を用いると である。したがって体積は となる。