東北大学 1994年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

$x$ に関する多項式 $P_{n} (x)$ $(n = 0, 1, 2, \dots\dots)$ が，すべての実数 $θ$ に対して $P_{n} (cos θ) = cos n θ$ を満たすものとする．

(1) $P_{n + 1} (x) + P_{n - 1} (x)$ を， $P_{n} (x)$ を用いて表せ．また $P_{n} (x)$ の次数を求めよ．

(2) $P_{5} (x)$ を求めよ．

(3) 方程式 $P_{5} (x) = 1$ の異なる実数解の個数を求めよ．

出典：東北大学 1994年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

方針

$P_{n} (cos θ) = cos n θ$ なので、加法定理 $cos (n + 1) θ + cos (n - 1) θ = 2 cos θ cos n θ$ をそのまま多項式の関係に移す。次数はこの漸化式から帰納的に決める。 $P_{5}$ は $P_{0}, P_{1}$ から順に計算し、 $P_{5} (x) = 1$ は因数分解して、 $[- 1, 1]$ 外の根がないことまで確認する。

解答

(1)

加法定理より $cos (n + 1) θ + cos (n - 1) θ = 2 cos θ cos n θ$ である。 $x = cos θ$ とおくと $P_{n + 1} (x) + P_{n - 1} (x) = 2 x P_{n} (x)$ である。よって $P_{n + 1} (x) + P_{n - 1} (x) = 2 x P_{n} (x)$ である。

また $P_{0} (x) = 1$ 、 $P_{1} (x) = x$ である。上の関係から $P_{n + 1} (x) = 2 x P_{n} (x) - P_{n - 1} (x)$ であり、 $P_{n}$ の最高次の項は毎回 $2 x P_{n}$ から生じて、 $P_{n - 1}$ とは打ち消し合わない。したがって $P_{n} (x) の次数は n$ である。

(2)

順に計算すると $P_{0} (x) = 1, P_{1} (x) = x$ $P_{2} (x) = 2 x^{2} - 1$ $P_{3} (x) = 2 x P_{2} (x) - P_{1} (x) = 4 x^{3} - 3 x$ $P_{4} (x) = 2 x P_{3} (x) - P_{2} (x) = 8 x^{4} - 8 x^{2} + 1$ である。よって $P_{5} (x) = 2 x P_{4} (x) - P_{3} (x) = 16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x$ である。したがって $P_{5} (x) = 16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x$ である。

(3)

(2)より $P_{5} (x) - 1 = 16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x - 1$ である。これを因数分解すると $P_{5} (x) - 1 = (x - 1) (4 x^{2} + 2 x - 1)^{2}$ となる。したがって実数解は $x = 1, 4 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ から得られる。

二次方程式の2解は $x = \frac{- 1 + 5}{4}, x = \frac{- 1 - 5}{4}$ であり、いずれも実数で、 $x = 1$ とは異なる。よって異なる実数解の個数は $3$ である。

別解。(3)では $- 1 ≦ x ≦ 1$ の範囲なら $x = cos θ$ と置ける。 $P_{5} (x) = 1$ は $cos 5 θ = 1$ となり、 $0 ≦ θ ≦ π$ では $θ = 0, 2 π /5, 4 π /5$ の3通りである。さらに上の因数分解により、 $[- 1, 1]$ の外に追加の実数解はないことも確認できる。

東北大学 1994年度理系数学 前期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 1994年度
理系数学前期第6問