東北大学 1994年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

$N$ を2以上の整数とする． $A$ チームと $B$ チームがある試合をくり返して行い，先に $N$ 勝したチームを優勝とする．各試合において引き分けはないものとし，それぞれの勝つ確率は $\frac{1}{2}$ とする． $X$ 回目の試合で優勝チームが決まったものとして，次に答えよ．

(1) $P (X ≦ N + 1)$ を求めよ．

(2) $P (X = N + j)$ $(j = 0, 1, \dots\dots, N - 1)$ を求めよ．

(3) $a_{n} = j = 0 \sum n_{n + j} C_{j} (\frac{1}{2})^{j}$ $(n = 1, 2, \dots\dots)$ を求めよ．

出典：東北大学 1994年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

優勝が決まる最後の試合は、優勝チームの $N$ 勝目である。その直前までに優勝チームは $N - 1$ 勝、相手は $j$ 勝している必要があるので、最後の1試合を固定してその前の並びを数える。(3)は(2)で得た確率を全ての可能な終了時刻について足すと1になることを利用し、与えられた和に読み替える。

解答

(1)

優勝が決まる最短の試合数は $N$ 回である。 $X = N$ となるのは、どちらか一方のチームが最初から $N$ 連勝する場合なので $P (X = N) = 2 (\frac{1}{2})^{N} = \frac{1}{2 ^{N - 1}}$ である。

次に $X = N + 1$ となる場合を考える。優勝チームを固定すると、最後の試合はそのチームが勝つ。直前の $N$ 試合では、優勝チームが $N - 1$ 勝、相手が1勝していればよい。その相手の1勝の位置は $N$ 通りである。優勝チームは2通りあるから $P (X = N + 1) = \frac{2 N}{2 ^{N + 1}} = \frac{N}{2 ^{N}}$ である。したがって $P (X ≦ N + 1) = \frac{1}{2 ^{N - 1}} + \frac{N}{2 ^{N}} = \frac{N + 2}{2 ^{N}}$ である。

(2)

$X = N + j$ とする。ただし $0 ≦ j ≦ N - 1$ である。優勝チームを固定すると、最後の試合は優勝チームの勝ちである。その前の $N + j - 1$ 試合では、優勝チームが $N - 1$ 勝、相手が $j$ 勝している必要がある。

その並び方は $_{N + j - 1} C_{j}$ 通りである。優勝チームは $A, B$ の2通りなので

P (X = N + j) = \frac{2 _{N + j - 1} C _{j}}{2 ^{N + j}} = \frac{_{N + j - 1} C _{j}}{2 ^{N + j - 1}}

である。

(3)

(2)の確率を、 $j = 0, 1, \dots, N - 1$ について足すと、どこかで必ず優勝チームが決まるので和は1である。したがって $\sum_{j = 0}^{N - 1} \frac{_{N + j - 1} C _{j}}{2 ^{N + j - 1}} = 1$ である。

ここで $n = N - 1$ とおくと $\sum_{j = 0}^{n} \frac{_{n + j} C _{j}}{2 ^{n + j}} = 1$ となる。両辺に $2^{n}$ を掛ければ $\sum_{j = 0}^{n}_{n + j} C_{j} (\frac{1}{2})^{j} = 2^{n}$ である。よって $a_{n} = 2^{n}$ である。

別解。(3)は、 $_{n + j} C_{j}$ を最後に勝つ側の直前の並びとして読むと自然に出る。 $n + 1$ 勝で決まる試合で、相手の勝数が $j$ の場合を全て足したものが全確率1になるため、組合せの和を直接計算せずに値が決まる。

東北大学 1994年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 1994年度
理系数学前期第4問