東北大学 1994年度
理系数学 前期 第5問

解答

(1)

点 $(x,y)$ を原点のまわりに $30^{\circ }$ 回転すると $\left(x\cos 30^{\circ }-y\sin 30^{\circ },x\sin 30^{\circ }+y\cos 30^{\circ }\right)$ に移る。$y=f(x)$ を代入して

である。

(2)

条件より、$P_1$ の $y$ 座標について $\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}f(x)=1+{\int }_0^{x}f(t)dt$ が成り立つ。両辺を $x$ で微分すると $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}{f}^{\prime }(x)=f(x)$ である。両辺を2倍して $\boxed{1+\sqrt{3}{f}^{\prime }(x)=2f(x)}$ を得る。

また、後で使うために $x=0$ を代入すると $\frac{\sqrt{3}}{2}f(0)=1$ だから $f(0)=\frac{2}{\sqrt{3}}$ である。

(3)

(2)の微分方程式を $\sqrt{3}{f}^{\prime }(x)=2f(x)-1$ と書く。ここで $h(x)=2f(x)-1$ とおくと $h^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)=\frac{2}{\sqrt{3}}\{2f(x)-1\}=\frac{2}{\sqrt{3}}h(x)$ である。したがって $h(x)=C{e}^{2x/\sqrt{3}}$ である。

初期値 $f(0)=2/\sqrt{3}$ より $h(0)=2f(0)-1=\frac{4}{\sqrt{3}}-1$ だから $2f(x)-1=\left(\frac{4}{\sqrt{3}}-1\right)e^{2x/\sqrt{3}}$ である。よって $\boxed{f(x)=\frac{1}{2}+\frac{4-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}{e}^{2x/\sqrt{3}}}$ である。

別解。(3)は一次方程式として解いてもよい。微分方程式を $f^{\prime }(x)-\frac{2}{\sqrt{3}}f(x)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ と見れば、定数解 $f(x)=1/2$ を1つもつ。そこで $f(x)=1/2+u(x)$ と置くと、$u^{\prime }(x)=2u(x)/\sqrt{3}$ となり、同じ式が得られる。