東北大学 1994年度
理系数学 前期 第2問

解答

(1)

まず $0\leqq t\leqq 1$ とする。このとき $g(t)={\int }_0^t(t-x{)}^{n}dx+{\int }_t^1(x-t{)}^{n}dx$ である。よって

である。

これを微分すると $g^{\prime }(t)=t^n-(1-t{)}^n$ である。したがって $0<t<1/2$ では $g^{\prime }(t)<0$、$1/2<t<1$ では $g^{\prime }(t)>0$ であり、$t=1/2$ で最小となる。その値は $g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2(1/2{)}^{n+1}}{n+1}=\frac{1}{2^n(n+1)}$ である。

次に $t<0$ のときは、$0\leqq x\leqq 1$ で $|x-t|=x-t>x$ なので $g(t)>{\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}\geqq \frac{1}{2^n(n+1)}$ である。$t>1$ のときも同様に $|x-t|=t-x>1-x$ から $g(t)>{\int }_0^1(1-x{)}^{n}dx=\frac{1}{n+1}\geqq \frac{1}{2^n(n+1)}$ である。

したがって全体での最小値は $\boxed{\frac{1}{2^n(n+1)}}$ であり、それを与える値は $\boxed{t=\frac{1}{2}}$ である。

(2)

二項展開により

である。ここで $x^0,x^1,\dots ,x^{n-1}$ に $f(x)$ を掛けた積分は、仮定によりすべて0である。したがって積分に残るのは $x^n$ の項だけであり、すべての実数 $t$ について $\boxed{{\int }_0^1(x-t{)}^{n}f(x)dx={\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx}$ が成り立つ。

(3)

(2)の等式で $t=1/2$ とおくと ${\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx={\int }_0^1{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^{n}f(x)dx$ である。よって、$|f(x)|\leqq M$ を用いると

である。(1)の結果を用いれば ${\int }_0^1{\left|x-\frac{1}{2}\right|}^{n}dx=\frac{1}{2^n(n+1)}$ だから $\boxed{\left|{\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx\right|\leqq \frac{M}{2^n(n+1)}}$ である。

別解。(1)の $0\leqq t\leqq 1$ における最小化は、$t$ と $1-t$ の和が1で固定されていることからも見られる。$u^{n+1}$ は $u\geqq 0$ で下にふくらむ関数なので、$t^{n+1}+(1-t{)}^{n+1}$ は2つが等しい $t=1/2$ のとき最小になる。