東北大学 1994年度後期・文系数学後期第4問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ が次のように定義されている．

a_{1} = 2, a_{n} = n + 1 + \frac{1}{n} k = 1 \sum n - 1 (k + 2) a_{k} (n ≧ 2)

(1) $a_{n}$ を $a_{n - 1}$ で表せ．

(2) $a_{n}$ を求めよ．

出典：東北大学 1994年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第4問

方針

和を含む定義式に $n$ を掛けた式と、1つ前の式に $n - 1$ を掛けた式を並べて引き算する。すると和の大部分が消え、 $a_{n}$ と $a_{n - 1}$ だけの漸化式になる。得られた $a_{n} = 2 a_{n - 1} + 2$ は、 $a_{n} + 2$ を見ると等比数列として解ける。

解答

(1)

定義式に $n$ を掛けると、 $n ≧ 2$ で $n a_{n} = n (n + 1) + \sum_{k = 1}^{n - 1} (k + 2) a_{k}$ である。また、 $n - 1$ に対する式に $n - 1$ を掛けると $(n - 1) a_{n - 1} = n (n - 1) + \sum_{k = 1}^{n - 2} (k + 2) a_{k}$ である。

上の式から下の式を引くと $n a_{n} - (n - 1) a_{n - 1} = 2 n + (n + 1) a_{n - 1}$ である。したがって $n a_{n} = 2 n a_{n - 1} + 2 n$ となり、 $n ≧ 2$ だから $a_{n} = 2 a_{n - 1} + 2$ である。

(2)

(1)の式を $a_{n} + 2 = 2 (a_{n - 1} + 2)$ と書く。初期値 $a_{1} = 2$ より $a_{1} + 2 = 4$ であるから $a_{n} + 2 = 4 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n + 1}$ である。したがって $a_{n} = 2^{n + 1} - 2$ である。

別解。(2)は階差的に見てもよい。漸化式 $a_{n} = 2 a_{n - 1} + 2$ の定数項を消すために、定数 $c$ を用いて $a_{n} + c = 2 (a_{n - 1} + c)$ としたい。比較すると $c = 2$ が分かり、 $a_{n} + 2$ が等比数列になる。

東北大学 1994年度後期・文系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1994年度
後期・文系数学後期第4問