問題
空間において，
と
を考える．とが交わってできる円の面積が最小となるように実数を定めよ．また，そのときの円の中心の座標を求めよ．
出典：東北大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第1問
方針
球面を平方完成して中心と半径を読む。平面との交円の半径 は、球の半径2と中心から平面までの距離 により と表せるので、面積を最小にするには を最大にすればよい。 を微分して最大を与える を決め、円の中心は球の中心を平面へ垂直に下ろした点として求める。
解答
(1)
球面 の式は である。平方完成すると となる。したがって球の中心は で、半径は2である。
中心 から平面 までの距離を とすると である。交わってできる円の半径を とすると であるから、円の面積 を最小にするには を最大にすればよい。
そこで とおく。微分すると
である。したがって は で極大となる。また では であり、 なので、最大は のときである。
このとき球の中心は で、平面は である。交円の中心は、球の中心 からこの平面へ下ろした垂線の足である。平面の法線方向は であり、 を平面の式に代入すると である。法線ベクトルの長さの2乗は だから、垂線の足は である。したがって円の中心は である。