東北大学 1994年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

曲線 $C : y = - a x^{3} + (2 a - 1) x^{2} + 2 a - 3$ $(a ≧ 2)$ を考え，点 $(1, 3 a - 4)$ における $C$ の接線を $L$ とする． $L$ と曲線 $y = x^{2} - 2$ とで囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに1回転させた回転体の体積を $V$ とする． $V = 10 π a^{2}$ となるときの $a$ を求めよ．

出典：東北大学 1994年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

方針

まず曲線 $C$ の $x = 1$ における接線 $L$ を求め、放物線 $y = x^{2} - 2$ との交点 $x = - 2, a$ を出す。領域は $y$ 軸をまたぐため、縦の円筒殻を左右で単純に足すと重なりを数える危険がある。水平断面で、低い高さでは軸を含む円板、高い高さでは内側に穴のある輪として分けて体積を積分する。

解答

(1)

曲線 $C$ は $y = - a x^{3} + (2 a - 1) x^{2} + 2 a - 3$ である。導関数は $y^{'} = - 3 a x^{2} + 2 (2 a - 1) x$ であり、 $x = 1$ での傾きは $- 3 a + 4 a - 2 = a - 2$ である。点 $(1, 3 a - 4)$ を通るので、接線 $L$ は $y - (3 a - 4) = (a - 2) (x - 1)$ すなわち $L : y = (a - 2) x + 2 a - 2$ である。

この直線と放物線 $y = x^{2} - 2$ の交点は $x^{2} - 2 = (a - 2) x + 2 a - 2$ より $x^{2} - (a - 2) x - 2 a = 0$ を解けばよい。左辺は $(x - a) (x + 2)$ と因数分解できるので、交点の $x$ 座標は $- 2, a$ である。 $- 2 < x < a$ では直線が放物線の上にある。

ここから回転体の体積を水平断面で求める。放物線は $y = x^{2} - 2$ なので、水平線 $y = 一定$ との交点は $x = \pm y + 2$ である。また直線は $x = \frac{y - 2 a + 2}{a - 2}$ と書ける。

まず $- 2 ≦ y ≦ 2 a - 2$ では、水平断面は $y$ 軸を含み、回転すると半径 $y + 2$ の円板になる。したがってこの部分の体積は $π \int_{- 2}^{2 a - 2} (y + 2) d y$ である。

次に $2 a - 2 ≦ y ≦ a^{2} - 2$ では、水平断面は正の $x$ 側だけにあり、外半径が $y + 2$ 、内半径が $\frac{y - 2 a + 2}{a - 2}$ の輪になる。したがってこの部分の体積は

π \int_{2 a - 2}^{a^{2} - 2} {(y + 2) - (\frac{y - 2 a + 2}{a - 2})^{2}} d y

である。

以上より

V = π \int_{- 2}^{2 a - 2} (y + 2) d y + π \int_{2 a - 2}^{a^{2} - 2} {(y + 2) - (\frac{y - 2 a + 2}{a - 2})^{2}} d y

である。計算すると $V = \frac{π a ^{3} ( a + 4 )}{6}$ となる。 $a = 2$ の場合も、直接 $- 2 ≦ y ≦ 2$ の円板を積分して同じ式になる。

条件 $V = 10 π a^{2}$ より、 $a > 0$ なので $\frac{a ( a + 4 )}{6} = 10$ である。すなわち $a^{2} + 4 a - 60 = 0$ だから $(a - 6) (a + 10) = 0$ である。 $a ≧ 2$ より $a = 6$ である。

東北大学 1994年度後期・文系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

東北大学 1994年度
後期・文系数学後期第2問