東北大学 1994年度
後期・文系数学 後期 第3問

解答

(1)

点 $(x,y)$ が $l_t$ 上にある条件は $y=\frac{4tx+t^2-1}{t^2+1}$ である。両辺に $t^2+1$ を掛けて整理すると $(y-1)t^2-4xt+(y+1)=0$ である。したがって、ある実数 $t$ が存在するためには、この $t$ についての方程式が実数解をもてばよい。

判別式は $(-4x{)}^2-4(y-1)(y+1)=16x^2-4(y^2-1)$ である。よって $16x^2-4(y^2-1)\geqq 0$ すなわち $y^2\leqq 4x^2+1$ が必要である。

ただし $(x,y)=(0,1)$ のとき、もとの方程式は $2=0$ となり、実数 $t$ は存在しない。逆に、この点を除けば上の条件で実数解が存在する。したがって通りうる範囲は $\boxed{y^2\leqq 4x^2+1\text{ただし }(0,1)\text{ を除く}}$ である。図では、2つの曲線 $y=\pm \sqrt{4x^2+1}$ に挟まれる部分で、上の頂点 $(0,1)$ だけを除いた範囲である。

(2)

(1)の二次方程式が、さらに $t\geqq 0$ の解をもつ条件を調べる。 $x>0$ のとき、$t=0$ で $y=-1$ となり、$t$ を増やすと上側の境界まで到達できる。式で見ると、判別式条件に加えて下端は $y=-1$ である。したがって $-1\leqq y\leqq \sqrt{4x^2+1}(x>0)$ である。 $x=0$ のときは $y=\frac{t^2-1}{t^2+1}$ であり、$t\geqq 0$ で $-1\leqq y<1$ を動く。 $x<0$ のときは、上側の直線 $y=1$ には有限の $t\geqq 0$ では達しない。一方、下側の境界 $y=-\sqrt{4x^2+1}$ は判別式が0となる正の $t$ で達する。したがって $-\sqrt{4x^2+1}\leqq y<1(x<0)$ である。

まとめると、求める範囲は

である。

別解。$t\geqq 0$ では $\frac{4t}{t^2+1}\geqq 0,\frac{t^2-1}{t^2+1}<1$ であるから、直線 $l_t$ は傾きが0以上で、切片が $-1$ 以上1未満の直線として動く。この見方から、右半平面では下端が $t=0$ の直線 $y=-1$、左半平面では上端が近づくだけの直線 $y=1$ になることが分かる。