東北大学 1994年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

2次関数 $f_{n} (x)$ $(n = 1, 2, \dots\dots)$ を次のように定義する．

f_{1} (x) = 3 x^{2}, f_{2} (x) = 3 x^{2} + 4 x,

f_{n} (x) = 3 x^{2} + 4 x \int_{0}^{1} f_{n - 1} (t) d t - \int_{0}^{1} f_{n - 2} (t) d t (n ≧ 3)

(1) $a_{1} = 0$ ， $a_{n} = \int_{0}^{1} f_{n - 1} (t) d t$ $(n ≧ 2)$ とおくとき， $a_{n}$ を $a_{n - 1}$ と $a_{n - 2}$ で表す漸化式を求めよ．

(2) $f_{n} (x)$ を求めよ．

出典：東北大学 1994年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

方針

$a_{n}$ は1つ前の関数の積分値として定義されているので、まず $f_{n} (x)$ を $a_{n}, a_{n - 1}$ で表す。これを $[0, 1]$ で積分すると $a_{n + 1}$ の漸化式が得られる。漸化式は階差 $a_{n + 1} - a_{n}$ を見ると等差的に解けるので、 $a_{n}$ を求めてから $f_{n} (x)$ に戻す。

解答

(1)

定義より、 $n ≧ 3$ では $f_{n} (x) = 3 x^{2} + 4 x \int_{0}^{1} f_{n - 1} (t) d t - \int_{0}^{1} f_{n - 2} (t) d t$ である。ここで $a_{n} = \int_{0}^{1} f_{n - 1} (t) d t$ だから、 $n ≧ 2$ について $f_{n} (x) = 3 x^{2} + 4 a_{n} x - a_{n - 1}$ と書ける。実際、 $n = 2$ でも $a_{2} = \int_{0}^{1} f_{1} (t) d t = 1$ 、 $a_{1} = 0$ より $f_{2} (x) = 3 x^{2} + 4 x$ となり一致する。

この式を $0$ から $1$ まで積分すると $a_{n + 1} = \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = \int_{0}^{1} (3 x^{2} + 4 a_{n} x - a_{n - 1}) d x$ である。したがって $a_{n + 1} = 1 + 2 a_{n} - a_{n - 1}$ である。添字を1つ下げれば、 $n ≧ 3$ に対して $a_{n} = 1 + 2 a_{n - 1} - a_{n - 2}$ である。

(2)

まず $a_{1} = 0, a_{2} = \int_{0}^{1} f_{1} (t) d t = \int_{0}^{1} 3 t^{2} d t = 1$ である。(1)の漸化式を $a_{n + 1} - a_{n} = (a_{n} - a_{n - 1}) + 1$ と書く。ここで $d_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ とおくと $d_{n} = d_{n - 1} + 1$ であり、 $d_{1} = a_{2} - a_{1} = 1$ だから $d_{n} = n$ である。したがって $a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} d_{k} = \sum_{k = 1}^{n - 1} k = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ である。

よって $f_{n} (x) = 3 x^{2} + 4 a_{n} x - a_{n - 1}$ に代入して $f_{n} (x) = 3 x^{2} + 2 n (n - 1) x - \frac{( n - 1 ) ( n - 2 )}{2}$ を得る。 $n = 1$ でも右辺は $3 x^{2}$ となるので、すべての $n ≧ 1$ について $f_{n} (x) = 3 x^{2} + 2 n (n - 1) x - \frac{( n - 1 ) ( n - 2 )}{2}$ である。

東北大学 1994年度文系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1994年度
文系数学前期第4問