東北大学 1994年度
文系数学 前期 第1問

解答

(1)

$F(x)=(x+a{)}^3-3x-a^2$ とおく。求める条件は、$x<0$ において $F(x)=0$ となる $x$ が存在しないことである。

まず ${\lim }_{x\to -\infty }F(x)=-\infty$ である。したがって、$x<0$ で一度でも $F(x)>0$ になれば、その手前で0を通り、負の解をもつ。逆に $x<0$ で常に $F(x)<0$ なら負の解をもたない。

導関数は $F^{\prime }(x)=3(x+a{)}^2-3=3\{(x+a{)}^2-1\}$ である。よって極値をとる候補は $x=-a-1,x=-a+1$ である。符号変化から、$x=-a-1$ が極大点、$x=-a+1$ が極小点である。 $a\leqq -1$ のとき、極大点 $-a-1$ は $0$ 以上であり、$x<0$ では $F(x)$ は増加し続ける。また $F(0)=a^3-a^2=a^2(a-1)<0$ なので、$x<0$ では常に $F(x)<0$ である。したがってこの場合は条件を満たす。

次に $a>-1$ とする。このとき極大点 $-a-1$ は負の範囲に入る。負の解をもたないためには、この極大値が0未満でなければならない。実際、極大値が0以上なら、$-\infty$ で負だった値が0に達するので負の解をもつ。

極大値は $F(-a-1)=(-1{)}^3-3(-a-1)-a^2=-a^2+3a+2$ である。したがって必要な条件は $-a^2+3a+2<0$ である。これは $a^2-3a-2>0$ すなわち $a<\frac{3-\sqrt{17}}{2}\text{または}a>\frac{3+\sqrt{17}}{2}$ である。

ただし $a>1$ の場合は $F(0)=a^2(a-1)>0$ であり、$x<0$ のどこかで0を通る。したがって $a>1$ は除かれる。結局、$a>-1$ の範囲で残るのは $-1<a<\frac{3-\sqrt{17}}{2}$ である。$a\leqq -1$ の場合と合わせて $\boxed{a<\frac{3-\sqrt{17}}{2}}$ である。

等号 $a=(3-\sqrt{17})/2$ では、負の極大点で $F(x)=0$ となるため、負の解をもつ。したがって等号は含まない。