東北大学 1994年度
文系数学 前期 第2問

解答

(1)

平面 $ABC$ は、$x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸との切片がそれぞれ $a,b,c$ である。したがって $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ である。すなわち $\frac{1}{a}x+\frac{1}{b}y+\frac{1}{c}z-1=0$ である。

原点とこの平面との距離 $h$ は $h=\frac{1}{\sqrt{1/a^2+1/b^2+1/c^2}}$ である。分母分子に $abc$ を掛けると $\boxed{h=\frac{abc}{\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2}}}$ となる。

(2)

四面体 $OABC$ は、互いに直交する3本の辺 $OA=a$、$OB=b$、$OC=c$ をもつので、その体積は $\frac{abc}{6}$ である。一方、$△ABC$ を底面、原点から平面 $ABC$ までの距離を高さと見ると、体積は $\frac{1}{3}[ABC]h$ である。よって $\frac{1}{3}[ABC]h=\frac{abc}{6}$ であり、(1)の $h$ を代入すると $[ABC]=\frac{abc}{2h}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2}$ である。したがって $\boxed{[ABC]=\frac{1}{2}\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2}}$ である。

(3)

まず面 $ABC$ について考える。平面 $ABC$ の方程式は $\frac{1}{a}x+\frac{1}{b}y+\frac{1}{c}z=1$ であり、四面体の内部にある原点は左辺が0になる側にある。したがって外向きの単位法線は、$(1/a,1/b,1/c)$ と同じ向きである。(2)の面積を掛けると $S_0\overrightarrow{u_0}=\frac{1}{2}(bc,ca,ab)$ である。

次に、面 $OAB$ は $z=0$ 上にあり、内部は $z>0$ 側にあるので、外向き単位法線は $(0,0,-1)$ である。面積は $ab/2$ だから $S_1\overrightarrow{u_1}=\left(0,0,-\frac{ab}{2}\right)$ である。

同様に、面 $OBC$ は $x=0$ 上にあり、外向きは負の $x$ 方向であるから $S_2\overrightarrow{u_2}=\left(-\frac{bc}{2},0,0\right)$ である。また、面 $OCA$ は $y=0$ 上にあり、外向きは負の $y$ 方向であるから $S_3\overrightarrow{u_3}=\left(0,-\frac{ca}{2},0\right)$ である。

これらを足すと

である。したがって

である。

別解。(3)は、閉じた多面体では各面の面積と外向き単位法線の積をすべて足すと0になる、という事実からも分かる。例えば任意の一定方向から四面体を見たとき、その方向に見える面積と反対向きに見える面積は等しい。この関係を3つの座標方向について成分ごとに見ると、上の和が $\overrightarrow{0}$ であることが分かる。