問題
関数の極大値，極小値をしらべ，のグラフの概形をかけ．
出典：東北大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第4問
方針
まず積分を実行して を多項式として表す。被積分関数は なので、 まで整理できる。微分すると となり、符号表から が極小、 が極大と分かる。概形は対称軸 、両端上昇、極値の高さを使って描く。
解答
まず被積分関数を整理すると である。したがって
である。これを展開して整理すると であり、 とも書ける。
微分すると である。したがって臨界点は である。
符号を調べると、 は
である。よって と で極小、 で極大となる。
値は であり、
である。したがって
である。
グラフの概形については、 より に関して左右対称であり、 で である。 と に同じ高さの谷をもち、その間の に山をもつ。ただしその極大値 も負である。以上を用いて、左右対称なW字型の概形を描けばよい。