問題
曲線を考える．ただし，はを満たす定数とする．点を通り，に接する直線の1つを，点を通り，に接する直線の1つをで表す．となるような，，を求めよ．
出典：東北大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第3問
方針
まず と はどちらも曲線上にあることに注目する。点 を通る接線の接点を 、点 を通る接線の接点を とし、接線条件を 、 と書く。これらはそれぞれ因数分解でき、接点候補が2つずつ出る。4通りの傾きの一致を調べ、範囲 に残る と接線を決める。
解答
曲線の右辺を とおく。まず である。したがって、点 、 はどちらも曲線上にある。
導関数は である。
点 を通り、曲線に で接する直線を考える。この接線は であり、 を通るから すなわち である。これを整理すると である。よって接点の候補は である。
同様に、点 を通り、曲線に で接する直線を考えると である。整理すると であるから、接点の候補は である。
それぞれの傾きを求める。 を通る接線の傾きは である。 を通る接線の傾きは である。
平行になるには、これらの傾きが等しければよい。4通りを調べる。
まず より である。これは を満たす。
次に は を与えるが、 は範囲外で、 も範囲外である。
また は を与えるが、どちらも範囲 には入らない。
最後に より であり、 を得る。
したがって だけが条件を満たす。このとき、接点が 、 の組では傾きは であるから である。
もう一つの組、すなわち では傾きは である。よって である。
以上より、求める は であり、対応する平行な接線の組は上の2組である。