東北大学 1993年度後期・文系数学後期第1問解答・解説

問題

行列

(cos θ 2 sin θ sin θ - 2 cos θ) (0 ≦ θ ≦ 2 π)

(- 2 k 0 0 k) (k は実数)

の表す1次変換をそれぞれ $f$ ， $g$ とする． $f$ と $g$ の合成変換 $g \circ f$ によって，点 $(2, 2)$ が点 $(0, - 8)$ に移るように， $θ$ と $k$ の値を求めよ．

出典：東北大学 1993年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第1問

方針

まず点 $(2, 2)$ を $f$ で移し、その結果に $g$ を作用させる。第1成分が0で第2成分が $- 8$ になる条件を成分ごとに立てる。 $k = 0$ では第2成分が0になってしまうため除外でき、第1成分から $cos θ + sin θ = 0$ を得る。候補の $θ$ を2つに絞り、それぞれ第2成分で $k$ を決める。

解答

点 $(2, 2)$ を $f$ で移すと $f (2, 2) = (2 cos θ + 2 sin θ, 4 sin θ - 4 cos θ)$ である。これに $g$ を作用させると

(g \circ f) (2, 2) = (- 2 k (2 cos θ + 2 sin θ), k (4 sin θ - 4 cos θ))

である。したがって

(g \circ f) (2, 2) = (- 4 k (cos θ + sin θ), 4 k (sin θ - cos θ))

である。

これが $(0, - 8)$ に等しいので $- 4 k (cos θ + sin θ) = 0, 4 k (sin θ - cos θ) = - 8$ が成り立つ。第2式より $k \neq = 0$ である。したがって第1式から $cos θ + sin θ = 0$ である。 $0 ≦ θ ≦ 2 π$ でこれを満たすのは $θ = \frac{3 π}{4}, \frac{7 π}{4}$ である。 $θ = 3 π /4$ のとき

sin θ - cos θ = \frac{2}{2} - (- \frac{2}{2}) = 2

であるから、第2式は $4 k 2 = - 8$ となり、 $k = - 2$ である。 $θ = 7 π /4$ のとき $sin θ - cos θ = - \frac{2}{2} - \frac{2}{2} = - 2$ であるから $- 4 k 2 = - 8$ となり、 $k = 2$ である。

よって求める組は

(θ, k) = (\frac{3 π}{4}, - 2), (θ, k) = (\frac{7 π}{4}, 2)

である。

東北大学 1993年度後期・文系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

東北大学 1993年度
後期・文系数学後期第1問