東北大学 1993年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

原点を $O$ とし，2点 $A_{1} (r_{1} cos θ, r_{1} sin θ)$ ， $A_{2} (r_{2} cos (θ + \frac{π}{2}), r_{2} sin (θ + \frac{π}{2}))$ が楕円

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

の上にあるとする．ただし， $r_{1} > 0$ ， $r_{2} > 0$ とする．

(1) 三角形 $O A_{1} A_{2}$ の面積 $S$ を $a$ ， $b$ ， $θ$ で表せ．

(2) $θ$ が $0 ≦ θ ≦ π$ の範囲で変化するとき， $S$ の最大値と最小値を求めよ．

出典：東北大学 1993年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

方針

$A_{1}$ と $A_{2}$ の方向は直交しているので、三角形の面積は $S = \frac{1}{2} r_{1} r_{2}$ である。楕円の式にそれぞれの座標を代入して $r_{1}^{2}$ 、 $r_{2}^{2}$ を求め、積を整理する。最後は $s = sin θ$ 、 $c = cos θ$ として $s^{2} c^{2}$ の範囲 $0 ≦ s^{2} c^{2} ≦ 1/4$ を使い、分母が最小・最大になる場合を調べる。

解答

(1)

$c = cos θ$ 、 $s = sin θ$ とおく。点 $A_{1}$ は $A_{1} = (r_{1} c, r_{1} s)$ であり、楕円上にあるから $\frac{r _{1}^{2} c ^{2}}{a ^{2}} + \frac{r _{1}^{2} s ^{2}}{b ^{2}} = 1$ である。したがって $r_{1}^{2} = \frac{a ^{2} b ^{2}}{b ^{2} c ^{2} + a ^{2} s ^{2}}$ である。

また

cos (θ + \frac{π}{2}) = - s, sin (θ + \frac{π}{2}) = c

だから $A_{2} = (- r_{2} s, r_{2} c)$ である。これも楕円上にあるので $\frac{r _{2}^{2} s ^{2}}{a ^{2}} + \frac{r _{2}^{2} c ^{2}}{b ^{2}} = 1$ より $r_{2}^{2} = \frac{a ^{2} b ^{2}}{b ^{2} s ^{2} + a ^{2} c ^{2}}$ である。 $O A_{1}$ と $O A_{2}$ は直交しているので、三角形 $O A_{1} A_{2}$ の面積は $S = \frac{1}{2} r_{1} r_{2}$ である。よって $S = \frac{a ^{2} b ^{2}}{2 ( b ^{2} c ^{2} + a ^{2} s ^{2} ) ( b ^{2} s ^{2} + a ^{2} c ^{2} )}$ である。

分母の中を整理する。

(b^{2} c^{2} + a^{2} s^{2}) (b^{2} s^{2} + a^{2} c^{2}) = a^{2} b^{2} (c^{4} + s^{4}) + (a^{4} + b^{4}) s^{2} c^{2} = a^{2} b^{2} (1 - 2 s^{2} c^{2}) + (a^{4} + b^{4}) s^{2} c^{2} = a^{2} b^{2} + (a^{2} - b^{2})^{2} s^{2} c^{2}

である。したがって $S = \frac{a ^{2} b ^{2}}{2 a ^{2} b ^{2} + ( a ^{2} - b ^{2} ) ^{2} s i n ^{2} θ c o s ^{2} θ}$ である。

(2)

$0 ≦ sin^{2} θ cos^{2} θ ≦ \frac{1}{4}$ である。面積 $S$ は、分母が小さいほど大きく、分母が大きいほど小さい。

最大値は $sin^{2} θ cos^{2} θ = 0$ のときである。このとき $S_{m a x} = \frac{a ^{2} b ^{2}}{2 ab} = \frac{ab}{2}$ である。これは例えば $θ = 0, π$ で成り立つ。

最小値は $sin^{2} θ cos^{2} θ = \frac{1}{4}$ のときである。このとき分母の平方根は $a^{2} b^{2} + \frac{( a ^{2} - b ^{2} ) ^{2}}{4} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2}$ である。よって $S_{m i n} = \frac{a ^{2} b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}}$ である。これは $θ = π /4, 3 π /4$ で成り立つ。

東北大学 1993年度後期・文系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1993年度
後期・文系数学後期第2問