東北大学 1993年度
文系数学 前期 第4問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 積分、関数
- 解法
- 恒等式比較、文字消去、計算整理
- 難易度
- 6 / 10 計算量 6 / 10 目安 18分
問題
次の2つの等式を同時に満たす関数f(x)とg(x)を考える．
f(x)=x2+∫−11(x−t)g(t)dt,
g(x)=∫−11{23f(t−x)+xg(t)}dt
(1) f(x)はxの2次式であることを示せ．
(2) f(x)とg(x)を求めよ．
出典：東北大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
最初の式では、x に関係する積分は ∫g(t)dt と ∫tg(t)dt の2つの定数にまとまる。そこで G=∫−11g(t)dt、H=∫−11tg(t)dt と置けば、f(x)=x2+Gx−H となり2次式であることが分かる。次にこの形を第2式へ代入し、得られた g(x) から改めて G,H を計算して連立方程式を解く。
解答
(1)
G=∫−11g(t)dt,H=∫−11tg(t)dt とおく。すると最初の式は
f(x)=x2+∫−11(x−t)g(t)dt=x2+x∫−11g(t)dt−∫−11tg(t)dt=x2+Gx−H
となる。G,H は x によらない定数なので、f(x) は x の2次式である。
(2)
(1)で得た f(x)=x2+Gx−H を第2式に代入する。まず f(t−x)=(t−x)2+G(t−x)−H であるから
∫−11f(t−x)dt=∫−11{(t−x)2+G(t−x)−H}dt=(∫−11t2dt)+2x2+G(∫−11tdt−2x)−2H=32+2x2−2Gx−2H
である。したがって
g(x)=∫−11{23f(t−x)+xg(t)}dt=23(32+2x2−2Gx−2H)+xG=3x2−2Gx+1−3H
である。
ここで G,H の定義に戻る。上の式を用いると
G=∫−11g(t)dt=∫−11(3t2−2Gt+1−3H)dt=2+2(1−3H)=4−6H
である。また
H=∫−11tg(t)dt=∫−11(3t3−2Gt2+(1−3H)t)dt=−2G⋅32=−34G
である。
よって G=4−6H,H=−34G を解けばよい。第2式を第1式に代入して G=4+8G となるから G=−74 であり、H=−34(−74)=2116 である。
したがって f(x)=x2−74x−2116 である。また g(x)=3x2−2Gx+1−3H に代入して g(x)=3x2+78x+1−716=3x2+78x−79 である。
