問題
2つの列ベクトル，と，成分がすべて実数である行列について
が同時には成立しないことを証明せよ．
出典：東北大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
を列に並べた行列の行列式を調べ、2つのベクトルが同一直線上にないことをまず確認する。 とおくと、条件は が と を入れ替えることを意味する。すると、 で作る平行四辺形の向きが反転するため になる。一方 なら であり、ここに矛盾が生じる。
解答
2つの列ベクトルを横に並べた行列を
とおく。この行列式は である。したがって、 と は同じ直線上にはなく、 は逆行列をもつ。
いま、仮に条件を同時に満たす実行列 が存在したとする。 とおくと である。これは、列をまとめて書けば
ということである。右辺は の2つの列を入れ替えたものなので
である。よって
となる。
両辺の行列式をとると
である。ここで であり、また
だから を得る。
一方、 であるから である。 の成分はすべて実数なので、 である。これは と矛盾する。
したがって、 と が同時に成り立つような実行列 は存在しない。