問題
，，を正の数とする．曲線
が軸と軸とに接するとき，次の問に答えよ．
(1) を，で表し，曲線①が軸に接する点および軸に接する点の座標をそれぞれ求めよ．
(2) 曲線①を原点のまわりに回転させて得られる曲線の方程式を求め，曲線①が楕円であることを確かめよ．
出典：東北大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
座標軸への接触は、 または を代入した二次方程式が重解をもつ条件として処理する。これにより と接点の座標を決める。回転後は、新しい座標を として を代入し、 の項が消える形に整理する。平方完成で標準形に直せば、係数が正であることから楕円と分かる。
解答
(1)
曲線が 軸に接する条件を調べる。 を代入すると である。 軸に接するためには、この二次方程式が重解をもてばよい。したがって判別式は0であり、 である。よって となる。、 だから である。
このとき重解は である。よって 軸との接点は である。
同様に を代入すると となり、同じ重解をもつ。したがって 軸との接点は である。
(2)
回転後の座標を とし、 とおく。このとき である。これを与えられた曲線の方程式に代入すると である。整理して すなわち を得る。
(1)より だから である。したがって であり、平方完成すると となる。両辺を で割って である。、 なので、これは中心 をもつ楕円である。