東北大学 1993年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ $(n = 1, 2, \dots\dots)$ を

a_{1} = 1, a_{n} = \frac{( n - 1 ) ^{3} ( n - 2 ) ^{3} ( n - 3 ) ^{3} \dots\dots ( 2 - 1 ) ^{3}}{( n ^{3} - 1 ) { ( n - 1 ) ^{3} - 1 } { ( n - 2 ) ^{3} - 1 } \dots { 2 ^{3} - 1 }} (n ≧ 2)

で定め， $S_{n} = k = 1 \sum n a_{k}$ とおく．

(1) $a_{n}$ を $n$ と $a_{n - 1}$ の式として表せ．

(2) $\frac{S _{1}}{a _{1}}$ ， $\frac{S _{2}}{a _{2}}$ ， $\frac{S _{3}}{a _{3}}$ を求めよ．

(3) (2)から $\frac{S _{n}}{a _{n}}$ が $n$ のどのような式になるかを予想し，その式を証明せよ．

出典：東北大学 1993年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

積で定義された $a_{n}$ は、隣り合う項の比を取るとほとんどが消える。(1)で $a_{n} / a_{n - 1}$ を出し、(2)で小さい $n$ の値から $S_{n} / a_{n} = n^{3}$ を予想する。(3)では $S_{n} = S_{n - 1} + a_{n}$ を $a_{n}$ で割り、帰納法の仮定と(1)の比を組み合わせて $n^{3}$ を得る。

解答

(1)

$n ≧ 2$ とする。 $a_{n}$ と $a_{n - 1}$ の積の形を比べると、多くの因子が打ち消し合う。具体的には、 $a_{n}$ の分子には新しく $(n - 1)^{3}$ が入り、分母には新しく $n^{3} - 1$ が入る。したがって $\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{( n - 1 ) ^{3}}{n ^{3} - 1}$ であり、 $a_{n} = \frac{( n - 1 ) ^{3}}{n ^{3} - 1} a_{n - 1}$ である。

(2)

まず $a_{1} = 1, S_{1} = 1$ なので $\frac{S _{1}}{a _{1}} = 1$ である。

(1)より $a_{2} = \frac{1 ^{3}}{2 ^{3} - 1} a_{1} = \frac{1}{7}$ であるから $S_{2} = 1 + \frac{1}{7} = \frac{8}{7}$ となり、 $\frac{S _{2}}{a _{2}} = \frac{8/7}{1/7} = 8$ である。

さらに $a_{3} = \frac{2 ^{3}}{3 ^{3} - 1} a_{2} = \frac{8}{26} \cdot \frac{1}{7} = \frac{4}{91}$ である。よって $S_{3} = 1 + \frac{1}{7} + \frac{4}{91} = \frac{91 + 13 + 4}{91} = \frac{108}{91}$ となるから $\frac{S _{3}}{a _{3}} = \frac{108/91}{4/91} = 27$ である。

したがって

\frac{S _{1}}{a _{1}} = 1^{3}, \frac{S _{2}}{a _{2}} = 2^{3}, \frac{S _{3}}{a _{3}} = 3^{3}

である。

(3)

(2)から $\frac{S _{n}}{a _{n}} = n^{3}$ と予想できる。これを数学的帰納法で証明する。 $n = 1$ では $S_{1} / a_{1} = 1 = 1^{3}$ で成り立つ。ある $n - 1 ≧ 1$ で $\frac{S _{n - 1}}{a _{n - 1}} = (n - 1)^{3}$ が成り立つと仮定する。このとき $S_{n} = S_{n - 1} + a_{n}$ であるから

\frac{S _{n}}{a _{n}} = \frac{S _{n - 1}}{a _{n}} + 1 = \frac{S _{n - 1}}{a _{n - 1}} \cdot \frac{a _{n - 1}}{a _{n}} + 1

である。

(1)より $\frac{a _{n - 1}}{a _{n}} = \frac{n ^{3} - 1}{( n - 1 ) ^{3}}$ なので、帰納法の仮定を代入して $\frac{S _{n}}{a _{n}} = (n - 1)^{3} \cdot \frac{n ^{3} - 1}{( n - 1 ) ^{3}} + 1 = n^{3}$ となる。よってすべての自然数 $n$ について $\frac{S _{n}}{a _{n}} = n^{3}$ が成り立つ。

東北大学 1993年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 1993年度
文系数学前期第3問