問題
についての3次方程式
が3つの相異なる実数解をもつとする．このとき点の存在する範囲を求め，それを図示せよ．
出典：東北大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第6問
方針
3次方程式の左辺を とおき，導関数で極大・極小を調べる。 となるので，臨界点は である。3つの相異なる実数解をもつには，極大値と極小値が 軸をはさむ必要がある。 と で極大・極小の順番が入れ替わるが，， を計算すると同じ条件 ， にまとまる。
解答
左辺を とおく。導関数は である。
3次方程式が3つの相異なる実数解をもつためには，グラフが極大値と極小値をもち，その二つの値が 軸をはさんでいなければならない。そこで ， を計算する。 であり， である。
まず の場合を考える。このとき の符号は となるので， で極大， で極小をとる。したがって3つの相異なる実数解をもつための条件は である。ここで なら だから， は と同値であり， は と同値である。
次に の場合を考える。このとき で極大， で極小をとる。よって条件は である。 なら なので，この場合も同じく に整理される。
なお のときは極大・極小が分かれず，3つの相異なる実数解はもてないが，この場合は となって上の条件に含まれない。
以上より，点 の存在する範囲は である。図示すると，直線 と直線 を境界として， または を満たす部分であり，境界線は含まない。さらに 上の点は除く。