問題
数直線上の点が最初に原点にあるとする．サイコロを2回投げ，点の位置を数直線上を正の向きに第1投の目の数だけ進め，負の向きに第2投の目の数だけ進める試行を考える．このときの点の位置を確率変数とする．
(1) の確率分布を求めよ．
(2) の期待値と分散を求めよ．
(3) 上の試行を6回繰り返すとき点が29にある確率，および28にある確率をそれぞれ求めよ．
出典：東北大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
1回の試行では，第1投を ，第2投を とおくと である。分布は差が になる組の数を数えると三角形型になる。期待値と分散は対称性とサイコロ1個の分散を使うと短い。(3)では6回の合計で最大値が30であることに注目し，29や28は最大からの不足分を数える。これにより全場合を展開せずに必要な組だけを数えられる。
解答
(1)
第1投の目を ，第2投の目を とすると である。 となるには を満たす の組を数えればよい。 のときは 通り， のときは 通り，というように， に対して組の数は 通りである。全体は 通りだから である。
(2)
分布は を中心に対称であるから である。
また で， は独立で同じ分布をもつ。サイコロ1個について
より である。したがって である。
(3)
1回の試行で最大の移動量は であり，これは の1通りで起こる。6回の合計の最大値は である。
合計が になるには，最大値30から不足が1だけ出ればよい。つまり1回だけ で，残り5回は である。 となる組は 通りであるから
である。
合計が になるには，最大値30から不足が2出ればよい。これは または のどちらかである。 となる組は 通り， となる組は 通りである。よって
である。