東北大学 1992年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ ， $c$ をそれぞれ1より大きな数とする．

(1) $lo g_{ab} a + lo g_{b c} b + lo g_{c a} c > 1$ を示せ．

(2) $lo g_{ab} a + lo g_{b c} b + lo g_{c a} c < 2$ を示せ．

(3) $lo g_{ab} a + lo g_{b c} b + lo g_{c a} c = \frac{3}{2}$ となるための必要十分条件を求めよ．

出典：東北大学 1992年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

対数の底をそろえるため， $x = lo g a$ ， $y = lo g b$ ， $z = lo g c$ と置く。 $a, b, c > 1$ なので $x, y, z$ はすべて正であり，分母の符号を心配せずに通分できる。和を $S$ とおき， $S - 1$ ， $2 - S$ ， $S - 3/2$ を同じ正の分母で整理する。(3)は分子の因数分解から，どの二つの対数が等しいかを読む。

解答

$x = lo g a$ ， $y = lo g b$ ， $z = lo g c$ とおく。 $a, b, c > 1$ より $x > 0, y > 0, z > 0$ である。また

lo g_{ab} a = \frac{x}{x + y}, lo g_{b c} b = \frac{y}{y + z}, lo g_{c a} c = \frac{z}{z + x}

である。和を $S = \frac{x}{x + y} + \frac{y}{y + z} + \frac{z}{z + x}$ とおく。

(1)

分母 $D = (x + y) (y + z) (z + x)$ は正である。通分して整理すると $S - 1 = \frac{x ^{2} y + x y z + x z ^{2} + y ^{2} z}{D}$ である。分子の各項はすべて正であるから $S - 1 > 0$ である。したがって $lo g_{ab} a + lo g_{b c} b + lo g_{c a} c > 1$ が成り立つ。

(2)

同じ分母で整理すると $2 - S = \frac{x ^{2} z + x y ^{2} + x y z + y z ^{2}}{D}$ である。これも分子の各項がすべて正であるから $2 - S > 0$ である。よって $lo g_{ab} a + lo g_{b c} b + lo g_{c a} c < 2$ が成り立つ。

(3)

$S - 3/2$ を同じ分母で整理すると $S - \frac{3}{2} = \frac{( x - y ) ( x - z ) ( y - z )}{2 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x )}$ である。分母は正なので， $S = 3/2$ となるための必要十分条件は $(x - y) (x - z) (y - z) = 0$ である。これは $x = y または x = z または y = z$ を意味する。

対数は同じ底でとっているので， $x = y$ は $a = b$ ， $x = z$ は $a = c$ ， $y = z$ は $b = c$ と同値である。したがって必要十分条件は $a = b または b = c または c = a$ である。

東北大学 1992年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 1992年度
理系数学前期第5問