東北大学 1992年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

平面上を運動する点 $P$ の座標 $(x, y)$ が，時刻 $t$ の関数として $x = e^{t} sin t$ ， $y = e^{t} cos t$ で与えられている．

(1) 点 $P$ の時刻 $t$ における速度を $v$ とするとき，ベクトル $v$ と $O P$ のなす角を求めよ．ただし $O$ は原点を表す．

(2) 点 $P$ が描く曲線の時刻 $t$ における接線の傾きを $f (t)$ とするとき，次の積分を求めよ．

\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (t) d t

出典：東北大学 1992年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

位置ベクトル $O P$ と速度ベクトル $v$ を成分で書き，内積からなす角を求める。(2)では曲線の接線の傾きが $d y / d x = (d y / d t) / (d x / d t)$ であることを使う。区間 $0 ≦ t ≦ π /4$ では $sin t + cos t > 0$ なので，分母が0になる心配はない。被積分関数は $lo g (sin t + cos t)$ の導関数として処理する。

解答

(1)

点 $P$ の位置ベクトルは $O P = e^{t} (sin t, cos t)$ である。速度ベクトルは各成分を微分して

v = (e^{t} sin t + e^{t} cos t, e^{t} cos t - e^{t} sin t) = e^{t} (sin t + cos t, cos t - sin t)

である。

内積を計算すると

O P \cdot v = e^{2 t} {sin t (sin t + cos t) + cos t (cos t - sin t)} = e^{2 t}

である。また

∣ O P ∣ = e^{t}, ∣ v ∣ = e^{t} (sin t + cos t)^{2} + (cos t - sin t)^{2} = 2 e^{t}

である。したがって，なす角を $ϕ$ とすると $cos ϕ = \frac{e ^{2 t}}{e ^{t} \cdot 2 e ^{t}} = \frac{1}{2}$ であるから $ϕ = \frac{π}{4}$ である。

(2)

曲線の接線の傾きは $f (t) = \frac{d y / d t}{d x / d t}$ である。ここで

\frac{d x}{d t} = e^{t} (sin t + cos t), \frac{d y}{d t} = e^{t} (cos t - sin t)

だから $f (t) = \frac{c o s t - s i n t}{s i n t + c o s t}$ である。区間 $0 ≦ t ≦ π /4$ では $sin t + cos t > 0$ である。

また $\frac{d}{d t} lo g (sin t + cos t) = \frac{c o s t - s i n t}{s i n t + c o s t}$ なので

\int_{0}^{π /4} f (t) d t = [lo g (sin t + cos t)]_{0}^{π /4} = lo g 2 - lo g 1 = lo g 2

である。

東北大学 1992年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1992年度
理系数学前期第3問