東北大学 1992年度後期・文系数学後期第4問解答・解説

問題

次の和を求めよ．

k = 1 \sum n \frac{k}{1 ^{2} + 3 ^{2} + 5 ^{2} + \dots\dots + ( 2 k - 1 ) ^{2}}

出典：東北大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第4問

方針

分母にある奇数平方和をまず閉じた式に直す。 $(2 j - 1)^{2} = 4 j^{2} - 4 j + 1$ と展開すれば， $1^{2} + 3^{2} + \dots + (2 k - 1)^{2} = k (4 k^{2} - 1) /3$ が得られる。すると各項は $3/ ((2 k - 1) (2 k + 1))$ となり，部分分数分解によって隣り合う項が消える形になる。

解答

まず分母を計算する。

1^{2} + 3^{2} + \dots + (2 k - 1)^{2} = j = 1 \sum k (2 j - 1)^{2} = j = 1 \sum k (4 j^{2} - 4 j + 1) = 4 \cdot \frac{k ( k + 1 ) ( 2 k + 1 )}{6} - 4 \cdot \frac{k ( k + 1 )}{2} + k = \frac{k ( 4 k ^{2} - 1 )}{3} .

したがって

\frac{k}{1 ^{2} + 3 ^{2} + \dots + ( 2 k - 1 ) ^{2}} = \frac{k}{k ( 4 k ^{2} - 1 ) /3} = \frac{3}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )}

である。

ここで $\frac{3}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )} = \frac{3}{2} (\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1})$ と部分分数分解できる。よって求める和は

k = 1 \sum n \frac{k}{1 ^{2} + 3 ^{2} + \dots + ( 2 k - 1 ) ^{2}} = \frac{3}{2} k = 1 \sum n (\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1}) = \frac{3}{2} (1 - \frac{1}{2 n + 1}) = \frac{3 n}{2 n + 1} .

東北大学 1992年度後期・文系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

東北大学 1992年度
後期・文系数学後期第4問