東北大学 1992年度後期・文系数学後期第1問解答・解説

問題

$x ≧ 0$ のとき，つねに $x^{3} - a x + 1 ≧ 0$ が成り立つように実数 $a$ の範囲を定めよ．

出典：東北大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第1問

方針

不等式を $F (x) = x^{3} - a x + 1$ の最小値問題として見る。 $a ≦ 0$ なら各項の符号からすぐ成り立つ。 $a > 0$ のときは導関数 $F^{'} (x) = 3 x^{2} - a$ により， $x = a /3$ で最小になるので，その最小値が0以上である条件を求める。別解として， $x > 0$ で $a ≦ x^{2} + 1/ x$ が全ての $x$ に対して必要になることから，右辺の最小値を求める方法も使える。

解答

$F (x) = x^{3} - a x + 1$ とおく。

まず $a ≦ 0$ のとき， $x ≧ 0$ なら $x^{3} ≧ 0, - a x ≧ 0$ である。したがって $F (x) = x^{3} - a x + 1 ≧ 1 > 0$ となり，条件を満たす。

次に $a > 0$ とする。このとき $F^{'} (x) = 3 x^{2} - a$ であり， $x ≧ 0$ では $x = a /3$ で $F^{'} (x)$ の符号が負から正に変わる。よって $F (x)$ はこの点で最小値をとる。

最小値は

F (\frac{a}{3}) = (\frac{a}{3})^{3} - a \frac{a}{3} + 1 = 1 - \frac{2 a ^{3/2}}{3 3}

である。したがって，すべての $x ≧ 0$ で $F (x) ≧ 0$ となるための条件は $1 - \frac{2 a ^{3/2}}{3 3} ≧ 0$ である。 $a > 0$ なので，これは $2 a^{3/2} ≦ 33$ すなわち $a ≦ (\frac{27}{4})^{1/3} = \frac{3}{3 4}$ と同値である。 $a ≦ 0$ の場合もこの範囲に含まれるので，求める範囲は $a ≦ \frac{3}{3 4}$ である。

別解。 $x = 0$ では不等式は常に成り立つ。 $x > 0$ では $x^{3} - a x + 1 ≧ 0$ は $a ≦ x^{2} + \frac{1}{x}$ と同値である。したがって，すべての $x > 0$ について成り立つには， $x^{2} + 1/ x$ の最小値以下であることが必要十分である。 $G (x) = x^{2} + 1/ x$ とおくと $G^{'} (x) = 2 x - \frac{1}{x ^{2}}$ であり， $G^{'} (x) = 0$ から $2 x^{3} = 1, x = \frac{1}{3 2}$ を得る。この点で最小となり，

G (\frac{1}{3 2}) = \frac{1}{3 4} + 32 = \frac{3}{3 4}

である。よって同じく $a ≦ \frac{3}{3 4}$ を得る。

東北大学 1992年度後期・文系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

東北大学 1992年度
後期・文系数学後期第1問