東北大学 1992年度後期・文系数学後期第3問解答・解説

問題

点 $A$ は第1象限に，点 $B$ は第4象限にあり，原点 $O$ を始点とするベクトル $O A$ ， $O B$ が単位ベクトルで， $x$ 軸とのなす角がともに $α$ とする． $θ$ が $0 ≦ θ ≦ 2 π$ の範囲を動くとき， $O P = cos θ O A + sin θ O B$ を位置ベクトルとする点 $P$ が描く図形を求めよ．

出典：東北大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第3問

方針

$A$ は第1象限， $B$ は第4象限にあり，どちらも $x$ 軸となす角が $α$ なので， $O A = (cos α, sin α)$ ， $O B = (cos α, - sin α)$ とおける。 $P$ の座標を $θ$ で表した後， $cos θ + sin θ$ と $cos θ - sin θ$ の二乗和が2になることを使って $θ$ を消去する。

解答

$A$ は第1象限， $B$ は第4象限にあり，どちらも単位ベクトルである。また， $x$ 軸とのなす角がともに $α$ であるから

O A = (cos α, sin α), O B = (cos α, - sin α)

とおける。ただし $0 < α < π /2$ である。 $O P = cos θ O A + sin θ O B$ より，点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると

x = cos α (cos θ + sin θ), y = sin α (cos θ - sin θ)

である。

ここで $(cos θ + sin θ)^{2} + (cos θ - sin θ)^{2} = 2$ である。したがって

(\frac{x}{cos α})^{2} + (\frac{y}{sin α})^{2} = 2

となる。よって $\frac{x ^{2}}{2 cos ^{2} α} + \frac{y ^{2}}{2 sin ^{2} α} = 1$ である。

逆に， $θ$ が $0$ から $2 π$ まで動くと， $(cos θ + sin θ, cos θ - sin θ)$ は円 $u^{2} + v^{2} = 2$ を一周する。したがって上の式で表される図形全体が得られる。求める図形は，原点を中心とし，座標軸に平行な楕円である。

東北大学 1992年度後期・文系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

東北大学 1992年度
後期・文系数学後期第3問