東北大学 1992年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

行列 $(a c b d)$ で表される1次変換 $f$ によって，円 $x^{2} + y^{2} = 1$ が円 $x^{2} + y^{2} = 2$ に変換され，双曲線 $x y = 1$ が双曲線 $x^{2} - y^{2} = 4$ に変換されるとき，この行列を求めよ．

出典：東北大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

方針

変換後の座標を $X = a x + b y$ ， $Y = c x + d y$ とおく。円 $x^{2} + y^{2} = 1$ が円 $X^{2} + Y^{2} = 2$ に送られる条件から， $X^{2} + Y^{2}$ の係数を比較し，二つの列ベクトルの長さと直交条件を得る。次に， $x y = 1$ 上で $X^{2} - Y^{2} = 4$ が常に成り立つように， $y = 1/ x$ として $x^{2}$ ， $x^{- 2}$ ，定数項を比較する。

解答

変換後の点を $X = a x + b y, Y = c x + d y$ とおく。

まず，円 $x^{2} + y^{2} = 1$ が円 $X^{2} + Y^{2} = 2$ に送られる。したがって， $x^{2} + y^{2} = 1$ の上で $X^{2} + Y^{2} = 2$ が成り立つ。展開すると $X^{2} + Y^{2} = (a^{2} + c^{2}) x^{2} + 2 (ab + c d) x y + (b^{2} + d^{2}) y^{2}$ である。これが $2 (x^{2} + y^{2})$ に等しいので $a^{2} + c^{2} = 2, b^{2} + d^{2} = 2, ab + c d = 0$ を得る。

次に， $x y = 1$ の点が $X^{2} - Y^{2} = 4$ を満たす条件を調べる。展開すると $X^{2} - Y^{2} = (a^{2} - c^{2}) x^{2} + 2 (ab - c d) x y + (b^{2} - d^{2}) y^{2}$ である。 $x y = 1$ だから $y = 1/ x$ とおくと $X^{2} - Y^{2} = (a^{2} - c^{2}) x^{2} + 2 (ab - c d) + \frac{b ^{2} - d ^{2}}{x ^{2}}$ である。これがすべての $x \neq = 0$ で4に等しいためには $a^{2} - c^{2} = 0, b^{2} - d^{2} = 0, 2 (ab - c d) = 4$ でなければならない。すなわち $a^{2} = c^{2}, b^{2} = d^{2}, ab - c d = 2$ である。

これを先の円の条件と合わせる。 $a^{2} + c^{2} = 2$ かつ $a^{2} = c^{2}$ より $a^{2} = c^{2} = 1$ である。同様に $b^{2} = d^{2} = 1$ である。したがって $ab$ と $c d$ はそれぞれ $1$ または $- 1$ である。条件 $ab - c d = 2$ が成り立つには $ab = 1, c d = - 1$ でなければならない。

よって $b = a$ ， $d = - c$ であり， $a, c$ はそれぞれ $\pm 1$ をとる。求める行列は

(11 1 - 1), (1 - 1 11), (- 1 1 - 1 - 1), (- 1 - 1 - 1 1)

である。

東北大学 1992年度後期・文系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

東北大学 1992年度
後期・文系数学後期第2問