問題
2つの放物線
と，点において放物線①に接する直線について，次の問に答えよ．
(1) 直線の方程式を求めよ．
(2) 直線が点において放物線②に接するように，を定めよ．
(3) 放物線①と直線および軸で囲まれた図形の面積をとし，放物線②と直線および軸で囲まれた図形の面積をとする．との比を求めよ．
出典：東北大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
接線は，放物線 の における傾きから求める。もう一方の放物線が同じ点で同じ接線をもつには，点 を通る条件と，その点での微分係数が接線の傾きに等しい条件を同時に使う。面積は，どちらの放物線も接線との差が の定数倍になることを利用し， で積分して比を出す。
解答
(1)
放物線 の導関数は である。したがって における傾きは である。点 を通り傾き2の直線は だから， である。
(2)
放物線 が点 を通るので である。また導関数は であり， における傾きが2でなければならないから である。よって を得る。
(3)
(1)の放物線と直線 の差は である。また(2)で求めた放物線は だから，これと直線 の差は である。
どちらも で放物線が直線の上にあり， 軸と接点 によって囲まれる。したがって であり， である。よって である。