問題
短針の長さが1，長針の長さが2の時計がある．短針を，長針をとするとき，点の動く範囲を求め，それを図示せよ．ただしはベクトルの大きさ，はベクトルとの内積を表す．
出典：東北大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
短針と長針のなす角だけが本質である。時計の針の相対的な角度は時間とともに一周するので，その角を とおいて が を動くと考えればよい。横座標を ，縦座標を とし，内積公式から を作る。最後に の範囲から の範囲を忘れずに付ける。
解答
横座標を 縦座標を とおく。短針と長針のなす角を とすると，， であるから である。時計の長針と短針の相対的な角度は一周するので， は のすべての値をとる。したがって である。
また，内積を用いると
となる。よって である。さらに を上式に対応させると である。
したがって，点の動く範囲は である。図示すると， から までの放物線 の弧である。