問題
行列，について，次の問に答えよ．
(1) 等式が成り立つとき，の成分の間にはどのような関係があるか．
(2) のときを満たす行列をすべて求めよ．
出典：東北大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
まず行列積を実際に計算し，対応する成分を比較する。非対角成分は と に分かれるので， の場合と の場合に整理する。(2)では(1)の分類をそのまま使い， を代入して， から残りの成分を決める。特に のときは ， のときは回転型の形になり，どちらも に帰着する。
解答
(1)
直接計算すると
である。したがって が成り立つための条件は である。後者は と書ける。
まず から， または である。 のときは は自動的に成り立つ。 のとき，もし なら の場合に含まれる。 なら なので が必要である。
よって求める関係は である。
(2)
とする。(1)の分類に従って調べる。
まず の場合， であるから は を意味する。すなわち
である。成分を比較すると となる。第一式から であり，特に なので第二式から である。したがって
を得る。
次に かつ の場合，
である。このとき
だから， となるためには であればよい。よって であり，
を得る。
以上より，求める行列は
である。