東北大学 1991年度
後期・文系数学 後期 第4問

解答

(1)

点がすべて同一平面上にあると仮定する。その平面を $Ax+By+Cz+D=0$ とする。この平面にすべての点 $(\sin 2\theta ,\cos 2\theta ,2\cos \theta )$ があるなら $A\sin 2\theta +B\cos 2\theta +2C\cos \theta +D=0$ がすべての $\theta$ で成り立つ。 $\theta =0$ を代入すると $B+2C+D=0$ である。$\theta =\pi$ を代入すると $B-2C+D=0$ である。これらを引いて $C=0$ を得る。さらに $B+D=0$ である。 $\theta =\pi /2$ を代入すると $-B+D=0$ である。これと $B+D=0$ から $B=D=0$ である。最後に $\theta =\pi /4$ を代入すると $A=0$ である。

したがって平面の係数がすべて0になってしまい、平面を定められない。よって命題(1)は $\boxed{\text{正しくない}}$ である。

(2)

$x=\sin 2\theta ,y=\cos 2\theta ,z=2\cos \theta$ とおく。まず $x^2+y^2={\sin }^{2}2\theta +{\cos }^{2}2\theta =1$ である。また $z^2=4{\cos }^2\theta =2(1+\cos 2\theta )=2(1+y)$ である。したがって $x^2+y^2+z^2-2y-3=0$ が成り立つ。これは $x^2+(y-1{)}^2+z^2=4$ と書けるので、同一球面上にある。よって命題(2)は $\boxed{\text{正しい}}$ である。

(3)

$u=2^t$ とおく。このとき $4^t=u^2$ であり、また $t={\log }_{2}u$ である。第2座標を $Y$、第3座標を $Z$ とすると $Y={\log }_2(1+u^2)$ である。一方 $Z={\log }_2(u+u^{-1})={\log }_2\frac{u^2+1}{u}={\log }_2(1+u^2)-{\log }_{2}u=Y-t$ である。したがって $Y-t-Z=0$ である。座標を $(X,Y,Z)$ と書けば $X=t$ なので $\boxed{Y-X-Z=0}$ という平面上にある。よって命題(3)は $\boxed{\text{正しい}}$ である。