東北大学 1991年度後期・文系数学後期第1問解答・解説

問題

実数 $x$ に対し，行列 $A (x)$ を $A (x) = (x - 1 - 1 1 x + 1)$ と定義する．

(1)

A (x) A (y) = A (x y) + (x + y - 1) A (0)

を証明せよ．

(2) $n$ が2以上の整数のとき

A (x)^{n} = A (x^{n}) + (n x^{n - 1} - 1) A (0)

が成り立つことを証明せよ．ただし

A (x)^{1} = A (x), A (x)^{n} = A (x) A (x)^{n - 1} (n ≧ 2)

とする．

出典：東北大学 1991年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第1問

方針

(1)は行列の積を直接計算し、右辺 $A (x y) + (x + y - 1) A (0)$ と成分ごとに一致することを確かめる。(2)は数学的帰納法を使う。基底 $n = 2$ は(1)で $y = x$ として確認し、帰納法の段階では(1)に加えて $A (x) A (0) = x A (0)$ を使って係数を整理する。

解答

(1)

定義より

A (x) = (x - 1 - 1 1 x + 1), A (y) = (y - 1 - 1 1 y + 1)

である。これらを掛けると

A (x) A (y) = ((x - 1) (y - 1) - 1 - (y - 1) - (x + 1) (x - 1) + (y + 1) - 1 + (x + 1) (y + 1)) = (x y - x - y - (x + y) x + y x y + x + y)

である。

一方

A (x y) = (x y - 1 - 1 1 x y + 1), A (0) = (- 1 - 1 11)

であるから

A (x y) + (x + y - 1) A (0) = (x y - x - y - (x + y) x + y x y + x + y)

である。よって $A (x) A (y) = A (x y) + (x + y - 1) A (0)$ が成り立つ。

(2)

まず $n = 2$ のとき、(1)で $y = x$ とおくと $A (x)^{2} = A (x^{2}) + (2 x - 1) A (0)$ であり、これは求める式 $A (x)^{2} = A (x^{2}) + (2 x^{1} - 1) A (0)$ そのものである。

次に、ある $n ≧ 2$ で $A (x)^{n} = A (x^{n}) + (n x^{n - 1} - 1) A (0)$ が成り立つと仮定する。このとき $A (x)^{n + 1} = A (x) A (x)^{n}$ であるから $A (x)^{n + 1} = A (x) A (x^{n}) + (n x^{n - 1} - 1) A (x) A (0)$ である。

ここで(1)より $A (x) A (x^{n}) = A (x^{n + 1}) + (x + x^{n} - 1) A (0)$ である。また直接計算すると $A (x) A (0) = x A (0)$ である。したがって

A (x)^{n + 1} = A (x^{n + 1}) + (x + x^{n} - 1) A (0) + x (n x^{n - 1} - 1) A (0) = A (x^{n + 1}) + {x + x^{n} - 1 + n x^{n} - x} A (0) = A (x^{n + 1}) + {(n + 1) x^{n} - 1} A (0)

である。よって $n + 1$ でも成り立つ。

以上より、数学的帰納法によって、すべての整数 $n ≧ 2$ で $A (x)^{n} = A (x^{n}) + (n x^{n - 1} - 1) A (0)$ が成り立つ。

東北大学 1991年度後期・文系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1991年度
後期・文系数学後期第1問